Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102616 / 99304
↖ ↑ ↗
← S 67.584098°
E101.843262°		 ← 116.44 m → S 67.584098°
E101.846008°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
S 67.585145°
E101.843262°		 ← 116.44 m →
13 561 m²		 S 67.585145°
E101.846008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782901763916016 y=0.757633209228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782901763916016 × 217)
    floor (0.782901763916016 × 131072)
    floor (102616.5)     		tx = 102616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757633209228516 × 217)
    floor (0.757633209228516 × 131072)
    floor (99304.5)     		ty = 99304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102616 / 99304 ti = "17/102616/99304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102616/99304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102616 ÷ 217
    102616 ÷ 131072     		x = 0.78289794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99304 ÷ 217
    99304 ÷ 131072     		y = 0.75762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78289794921875 × 2 - 1) × π
    0.5657958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77750024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.5152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61873322637006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77750024} λ = 1.77750024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61873322637006))-π/2
    2×atan(0.198149550789632)-π/2
    2×0.195615650251123-π/2
    0.391231300502247-1.57079632675     		φ = -1.17956503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77750024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.843262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17956503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.584098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102616 KachelY 99304 1.77750024 -1.17956503 101.843262 -67.584098
    Oben rechts KachelX + 1 102617 KachelY 99304 1.77754817 -1.17956503 101.846008 -67.584098
    Unten links KachelX 102616 KachelY + 1 99305 1.77750024 -1.17958331 101.843262 -67.585145
    Unten rechts KachelX + 1 102617 KachelY + 1 99305 1.77754817 -1.17958331 101.846008 -67.585145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17956503--1.17958331) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17956503--1.17958331) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77750024-1.77754817) × cos(-1.17956503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381326964196139 × 6371000     		do = 116.442775880741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77750024-1.77754817) × cos(-1.17958331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381310065364949 × 6371000     		du = 116.437615619345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17956503)-sin(-1.17958331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381326964196139-0.381310065364949)×R²
    abs(1.77754817-1.77750024)×1.68988311897156e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68988311897156e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68988311897156e-05×40589641000000     		ar = 13560.8441049406m²