Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102612 / 99324
↖ ↑ ↗
← S 67.605035°
E101.832275°		 ← 116.36 m → S 67.605035°
E101.835022°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
S 67.606082°
E101.832275°		 ← 116.36 m →
13 537 m²		 S 67.606082°
E101.835022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782871246337891 y=0.757785797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782871246337891 × 217)
    floor (0.782871246337891 × 131072)
    floor (102612.5)     		tx = 102612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757785797119141 × 217)
    floor (0.757785797119141 × 131072)
    floor (99324.5)     		ty = 99324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102612 / 99324 ti = "17/102612/99324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102612/99324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102612 ÷ 217
    102612 ÷ 131072     		x = 0.782867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99324 ÷ 217
    99324 ÷ 131072     		y = 0.757781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782867431640625 × 2 - 1) × π
    0.56573486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77730849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.51556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61969196436246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77730849} λ = 1.77730849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61969196436246))-π/2
    2×atan(0.197959668325423)-π/2
    2×0.195432934911394-π/2
    0.390865869822789-1.57079632675     		φ = -1.17993046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77730849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.832275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17993046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.605035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102612 KachelY 99324 1.77730849 -1.17993046 101.832275 -67.605035
    Oben rechts KachelX + 1 102613 KachelY 99324 1.77735643 -1.17993046 101.835022 -67.605035
    Unten links KachelX 102612 KachelY + 1 99325 1.77730849 -1.17994872 101.832275 -67.606082
    Unten rechts KachelX + 1 102613 KachelY + 1 99325 1.77735643 -1.17994872 101.835022 -67.606082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17993046--1.17994872) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17993046--1.17994872) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77730849-1.77735643) × cos(-1.17993046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380989120547892 × 6371000     		do = 116.363884075213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77730849-1.77735643) × cos(-1.17994872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38097223766233 × 6371000     		du = 116.358727607397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17993046)-sin(-1.17994872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380989120547892-0.38097223766233)×R²
    abs(1.77735643-1.77730849)×1.68828855625081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68828855625081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68828855625081e-05×40589641000000     		ar = 13536.8296802825m²