Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102610 / 99216
↖ ↑ ↗
← S 67.491751°
E101.826782°		 ← 116.90 m → S 67.491751°
E101.829529°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.492803°
E101.826782°		 ← 116.89 m →
13 666 m²		 S 67.492803°
E101.829529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782855987548828 y=0.756961822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782855987548828 × 217)
    floor (0.782855987548828 × 131072)
    floor (102610.5)     		tx = 102610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756961822509766 × 217)
    floor (0.756961822509766 × 131072)
    floor (99216.5)     		ty = 99216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102610 / 99216 ti = "17/102610/99216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102610/99216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102610 ÷ 217
    102610 ÷ 131072     		x = 0.782852172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99216 ÷ 217
    99216 ÷ 131072     		y = 0.7569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782852172851562 × 2 - 1) × π
    0.565704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77721262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77721262} λ = 1.77721262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61451477920349))-π/2
    2×atan(0.198987199747469)-π/2
    2×0.196421524048943-π/2
    0.392843048097885-1.57079632675     		φ = -1.17795328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77721262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.826782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17795328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.491751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102610 KachelY 99216 1.77721262 -1.17795328 101.826782 -67.491751
    Oben rechts KachelX + 1 102611 KachelY 99216 1.77726055 -1.17795328 101.829529 -67.491751
    Unten links KachelX 102610 KachelY + 1 99217 1.77721262 -1.17797163 101.826782 -67.492803
    Unten rechts KachelX + 1 102611 KachelY + 1 99217 1.77726055 -1.17797163 101.829529 -67.492803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17795328--1.17797163) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17795328--1.17797163) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77721262-1.77726055) × cos(-1.17795328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382816434804641 × 6371000     		do = 116.897603649379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77721262-1.77726055) × cos(-1.17797163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382799482561903 × 6371000     		du = 116.892427078124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17795328)-sin(-1.17797163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382816434804641-0.382799482561903)×R²
    abs(1.77726055-1.77721262)×1.69522427387325e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69522427387325e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69522427387325e-05×40589641000000     		ar = 13665.9449221195m²