Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102609 / 99218
↖ ↑ ↗
← S 67.493854°
E101.824036°		 ← 116.91 m → S 67.493854°
E101.826782°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.494906°
E101.824036°		 ← 116.91 m →
13 668 m²		 S 67.494906°
E101.826782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782848358154297 y=0.756977081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782848358154297 × 217)
    floor (0.782848358154297 × 131072)
    floor (102609.5)     		tx = 102609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756977081298828 × 217)
    floor (0.756977081298828 × 131072)
    floor (99218.5)     		ty = 99218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102609 / 99218 ti = "17/102609/99218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102609/99218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102609 ÷ 217
    102609 ÷ 131072     		x = 0.782844543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99218 ÷ 217
    99218 ÷ 131072     		y = 0.756973266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782844543457031 × 2 - 1) × π
    0.565689086914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.77716468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756973266601562 × 2 - 1) × π
    -0.513946533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61461065300273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77716468} λ = 1.77716468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61461065300273))-π/2
    2×atan(0.198968123003123)-π/2
    2×0.196403173828538-π/2
    0.392806347657075-1.57079632675     		φ = -1.17798998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77716468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.824036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17798998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.493854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102609 KachelY 99218 1.77716468 -1.17798998 101.824036 -67.493854
    Oben rechts KachelX + 1 102610 KachelY 99218 1.77721262 -1.17798998 101.826782 -67.493854
    Unten links KachelX 102609 KachelY + 1 99219 1.77716468 -1.17800833 101.824036 -67.494906
    Unten rechts KachelX + 1 102610 KachelY + 1 99219 1.77721262 -1.17800833 101.826782 -67.494906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17798998--1.17800833) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17798998--1.17800833) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77716468-1.77721262) × cos(-1.17798998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382782530190267 × 6371000     		do = 116.911637542358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77716468-1.77721262) × cos(-1.17800833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382765577689739 × 6371000     		du = 116.906459812339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17798998)-sin(-1.17800833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382782530190267-0.382765577689739)×R²
    abs(1.77721262-1.77716468)×1.69525005274118e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69525005274118e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69525005274118e-05×40589641000000     		ar = 13667.585526723m²