Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102603 / 97746
↖ ↑ ↗
← S 65.894924°
E101.807556°		 ← 124.74 m → S 65.894924°
E101.810303°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
S 65.896046°
E101.807556°		 ← 124.73 m →
15 560 m²		 S 65.896046°
E101.810303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782802581787109 y=0.745746612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782802581787109 × 217)
    floor (0.782802581787109 × 131072)
    floor (102603.5)     		tx = 102603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745746612548828 × 217)
    floor (0.745746612548828 × 131072)
    floor (97746.5)     		ty = 97746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102603 / 97746 ti = "17/102603/97746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102603/97746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102603 ÷ 217
    102603 ÷ 131072     		x = 0.782798767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97746 ÷ 217
    97746 ÷ 131072     		y = 0.745742797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782798767089844 × 2 - 1) × π
    0.565597534179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.77687706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745742797851562 × 2 - 1) × π
    -0.491485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54404753676201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77687706} λ = 1.77687706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54404753676201))-π/2
    2×atan(0.213515139726004)-π/2
    2×0.210356472567998-π/2
    0.420712945135997-1.57079632675     		φ = -1.15008338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77687706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.807556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15008338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.894924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102603 KachelY 97746 1.77687706 -1.15008338 101.807556 -65.894924
    Oben rechts KachelX + 1 102604 KachelY 97746 1.77692500 -1.15008338 101.810303 -65.894924
    Unten links KachelX 102603 KachelY + 1 97747 1.77687706 -1.15010296 101.807556 -65.896046
    Unten rechts KachelX + 1 102604 KachelY + 1 97747 1.77692500 -1.15010296 101.810303 -65.896046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15008338--1.15010296) × R
    1.9579999999797e-05 × 6371000     		dl = 124.744179998707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15008338--1.15010296) × R
    1.9579999999797e-05 × 6371000     		dr = 124.744179998707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77687706-1.77692500) × cos(-1.15008338) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408411333206958 × 6371000     		do = 124.739333669618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77687706-1.77692500) × cos(-1.15010296) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408393460543895 × 6371000     		du = 124.733874898276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15008338)-sin(-1.15010296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408411333206958-0.408393460543895)×R²
    abs(1.77692500-1.77687706)×1.78726630630233e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78726630630233e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78726630630233e-05×40589641000000     		ar = 15560.1654177717m²