Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102602 / 99416
↖ ↑ ↗
← S 67.701110°
E101.804809°		 ← 115.89 m → S 67.701110°
E101.807556°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.702152°
E101.804809°		 ← 115.89 m →
13 430 m²		 S 67.702152°
E101.807556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782794952392578 y=0.758487701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782794952392578 × 217)
    floor (0.782794952392578 × 131072)
    floor (102602.5)     		tx = 102602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758487701416016 × 217)
    floor (0.758487701416016 × 131072)
    floor (99416.5)     		ty = 99416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102602 / 99416 ti = "17/102602/99416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102602/99416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102602 ÷ 217
    102602 ÷ 131072     		x = 0.782791137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99416 ÷ 217
    99416 ÷ 131072     		y = 0.75848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782791137695312 × 2 - 1) × π
    0.565582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77682912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.5169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6241021591275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77682912} λ = 1.77682912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6241021591275))-π/2
    2×atan(0.197088549945268)-π/2
    2×0.194594527682978-π/2
    0.389189055365956-1.57079632675     		φ = -1.18160727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77682912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.804809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18160727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.701110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102602 KachelY 99416 1.77682912 -1.18160727 101.804809 -67.701110
    Oben rechts KachelX + 1 102603 KachelY 99416 1.77687706 -1.18160727 101.807556 -67.701110
    Unten links KachelX 102602 KachelY + 1 99417 1.77682912 -1.18162546 101.804809 -67.702152
    Unten rechts KachelX + 1 102603 KachelY + 1 99417 1.77687706 -1.18162546 101.807556 -67.702152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18160727--1.18162546) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18160727--1.18162546) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77682912-1.77687706) × cos(-1.18160727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379438241476506 × 6371000     		do = 115.890205687185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77682912-1.77687706) × cos(-1.18162546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379421411715286 × 6371000     		du = 115.88506544491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18160727)-sin(-1.18162546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379438241476506-0.379421411715286)×R²
    abs(1.77687706-1.77682912)×1.68297612197499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68297612197499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68297612197499e-05×40589641000000     		ar = 13430.0430958745m²