Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102600 / 99032
↖ ↑ ↗
← S 67.297497°
E101.799317°		 ← 117.85 m → S 67.297497°
E101.802063°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.298557°
E101.799317°		 ← 117.85 m →
13 890 m²		 S 67.298557°
E101.802063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782779693603516 y=0.755558013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782779693603516 × 217)
    floor (0.782779693603516 × 131072)
    floor (102600.5)     		tx = 102600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755558013916016 × 217)
    floor (0.755558013916016 × 131072)
    floor (99032.5)     		ty = 99032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102600 / 99032 ti = "17/102600/99032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102600/99032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102600 ÷ 217
    102600 ÷ 131072     		x = 0.78277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99032 ÷ 217
    99032 ÷ 131072     		y = 0.75555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78277587890625 × 2 - 1) × π
    0.5655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77673325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5111083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6056943896734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77673325} λ = 1.77673325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6056943896734))-π/2
    2×atan(0.200750107698763)-π/2
    2×0.198116713100081-π/2
    0.396233426200162-1.57079632675     		φ = -1.17456290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77673325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.799317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17456290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.297497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102600 KachelY 99032 1.77673325 -1.17456290 101.799317 -67.297497
    Oben rechts KachelX + 1 102601 KachelY 99032 1.77678118 -1.17456290 101.802063 -67.297497
    Unten links KachelX 102600 KachelY + 1 99033 1.77673325 -1.17458140 101.799317 -67.298557
    Unten rechts KachelX + 1 102601 KachelY + 1 99033 1.77678118 -1.17458140 101.802063 -67.298557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17456290--1.17458140) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dl = 117.863500000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17456290--1.17458140) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dr = 117.863500000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77673325-1.77678118) × cos(-1.17456290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38594634450134 × 6371000     		do = 117.853359228081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77673325-1.77678118) × cos(-1.17458140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385929277792547 × 6371000     		du = 117.848147703238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17456290)-sin(-1.17458140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38594634450134-0.385929277792547)×R²
    abs(1.77678118-1.77673325)×1.70667087928678e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70667087928678e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70667087928678e-05×40589641000000     		ar = 13890.302281451m²