Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1026 / 961
↖ ↑ ↗
← N 79.679314°
W134.912109°		 ← 875.45 m → N 79.679314°
W134.868164°		 →
↑
875.76 m
↓
↑
875.76 m
↓
N 79.671438°
W134.912109°		 ← 876.11 m →
766 973 m²		 N 79.671438°
W134.868164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12530517578125 y=0.11737060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12530517578125 × 213)
    floor (0.12530517578125 × 8192)
    floor (1026.5)     		tx = 1026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11737060546875 × 213)
    floor (0.11737060546875 × 8192)
    floor (961.5)     		ty = 961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1026 / 961 ti = "13/1026/961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1026/961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1026 ÷ 213
    1026 ÷ 8192     		x = 0.125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 961 ÷ 213
    961 ÷ 8192     		y = 0.1173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.74951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35466051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1173095703125 × 2 - 1) × π
    0.765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35466051} λ = -2.35466051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40451488494202))-π/2
    2×atan(11.0730572722071)-π/2
    2×1.48073135086503-π/2
    2.96146270173006-1.57079632675     		φ = 1.39066637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35466051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39066637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.679314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1026 KachelY 961 -2.35466051 1.39066637 -134.912109 79.679314
    Oben rechts KachelX + 1 1027 KachelY 961 -2.35389352 1.39066637 -134.868164 79.679314
    Unten links KachelX 1026 KachelY + 1 962 -2.35466051 1.39052891 -134.912109 79.671438
    Unten rechts KachelX + 1 1027 KachelY + 1 962 -2.35389352 1.39052891 -134.868164 79.671438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39066637-1.39052891) × R
    0.000137459999999923 × 6371000     		dl = 875.757659999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39066637-1.39052891) × R
    0.000137459999999923 × 6371000     		dr = 875.757659999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35466051--2.35389352) × cos(1.39066637) × R
    0.000766989999999801 × 0.179157429086664 × 6371000     		do = 875.451575085406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35466051--2.35389352) × cos(1.39052891) × R
    0.000766989999999801 × 0.179292663348335 × 6371000     		du = 876.112396397639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39066637)-sin(1.39052891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179157429086664-0.179292663348335)×R²
    abs(-2.35389352--2.35466051)×0.000135234261670919×R²
    0.000766989999999801×0.000135234261670919×6371000²
    0.000766989999999801×0.000135234261670919×40589641000000     		ar = 766972.783709224m²