Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102598 / 99025
↖ ↑ ↗
← S 67.290075°
E101.793823°		 ← 117.91 m → S 67.290075°
E101.796570°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
S 67.291136°
E101.793823°		 ← 117.91 m →
13 905 m²		 S 67.291136°
E101.796570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782764434814453 y=0.755504608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782764434814453 × 217)
    floor (0.782764434814453 × 131072)
    floor (102598.5)     		tx = 102598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755504608154297 × 217)
    floor (0.755504608154297 × 131072)
    floor (99025.5)     		ty = 99025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102598 / 99025 ti = "17/102598/99025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102598/99025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102598 ÷ 217
    102598 ÷ 131072     		x = 0.782760620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99025 ÷ 217
    99025 ÷ 131072     		y = 0.755500793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782760620117188 × 2 - 1) × π
    0.565521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77663737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755500793457031 × 2 - 1) × π
    -0.511001586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.60535883137606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77663737} λ = 1.77663737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60535883137606))-π/2
    2×atan(0.200817482366526)-π/2
    2×0.198181476872529-π/2
    0.396362953745058-1.57079632675     		φ = -1.17443337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77663737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.793823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17443337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.290075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102598 KachelY 99025 1.77663737 -1.17443337 101.793823 -67.290075
    Oben rechts KachelX + 1 102599 KachelY 99025 1.77668531 -1.17443337 101.796570 -67.290075
    Unten links KachelX 102598 KachelY + 1 99026 1.77663737 -1.17445188 101.793823 -67.291136
    Unten rechts KachelX + 1 102599 KachelY + 1 99026 1.77668531 -1.17445188 101.796570 -67.291136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17443337--1.17445188) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dl = 117.927209999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17443337--1.17445188) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dr = 117.927209999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77663737-1.77668531) × cos(-1.17443337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386065835438175 × 6371000     		do = 117.914443477345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77663737-1.77668531) × cos(-1.17445188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386048760429566 × 6371000     		du = 117.909228330206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17443337)-sin(-1.17445188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386065835438175-0.386048760429566)×R²
    abs(1.77668531-1.77663737)×1.70750086084803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70750086084803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70750086084803e-05×40589641000000     		ar = 13905.0138344445m²