Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102597 / 98502
↖ ↑ ↗
← S 66.729053°
E101.791077°		 ← 120.64 m → S 66.729053°
E101.793823°		 →
↑
120.67 m
↓
↑
120.67 m
↓
S 66.730138°
E101.791077°		 ← 120.64 m →
14 557 m²		 S 66.730138°
E101.793823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782756805419922 y=0.751514434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782756805419922 × 217)
    floor (0.782756805419922 × 131072)
    floor (102597.5)     		tx = 102597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751514434814453 × 217)
    floor (0.751514434814453 × 131072)
    floor (98502.5)     		ty = 98502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102597 / 98502 ti = "17/102597/98502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102597/98502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102597 ÷ 217
    102597 ÷ 131072     		x = 0.782752990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98502 ÷ 217
    98502 ÷ 131072     		y = 0.751510620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782752990722656 × 2 - 1) × π
    0.565505981445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.77658944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751510620117188 × 2 - 1) × π
    -0.503021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58028783287477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77658944} λ = 1.77658944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58028783287477))-π/2
    2×atan(0.205915820331705)-π/2
    2×0.20307732351712-π/2
    0.40615464703424-1.57079632675     		φ = -1.16464168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77658944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.791077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16464168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.729053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102597 KachelY 98502 1.77658944 -1.16464168 101.791077 -66.729053
    Oben rechts KachelX + 1 102598 KachelY 98502 1.77663737 -1.16464168 101.793823 -66.729053
    Unten links KachelX 102597 KachelY + 1 98503 1.77658944 -1.16466062 101.791077 -66.730138
    Unten rechts KachelX + 1 102598 KachelY + 1 98503 1.77663737 -1.16466062 101.793823 -66.730138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16464168--1.16466062) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dl = 120.666740000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16464168--1.16466062) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dr = 120.666740000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77658944-1.77663737) × cos(-1.16464168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395079736117348 × 6371000     		do = 120.642350232732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77658944-1.77663737) × cos(-1.16466062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395062336875487 × 6371000     		du = 120.637037164916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16464168)-sin(-1.16466062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395079736117348-0.395062336875487)×R²
    abs(1.77663737-1.77658944)×1.73992418611157e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73992418611157e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73992418611157e-05×40589641000000     		ar = 14557.1985537161m²