Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102596 / 97756
↖ ↑ ↗
← S 65.906139°
E101.788330°		 ← 124.68 m → S 65.906139°
E101.791077°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.907260°
E101.788330°		 ← 124.68 m →
15 545 m²		 S 65.907260°
E101.791077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782749176025391 y=0.745822906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782749176025391 × 217)
    floor (0.782749176025391 × 131072)
    floor (102596.5)     		tx = 102596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745822906494141 × 217)
    floor (0.745822906494141 × 131072)
    floor (97756.5)     		ty = 97756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102596 / 97756 ti = "17/102596/97756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102596/97756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102596 ÷ 217
    102596 ÷ 131072     		x = 0.782745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97756 ÷ 217
    97756 ÷ 131072     		y = 0.745819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782745361328125 × 2 - 1) × π
    0.56549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77654150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.49163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54452690575821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77654150} λ = 1.77654150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54452690575821))-π/2
    2×atan(0.213412811716197)-π/2
    2×0.210258604117135-π/2
    0.42051720823427-1.57079632675     		φ = -1.15027912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77654150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.788330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15027912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.906139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102596 KachelY 97756 1.77654150 -1.15027912 101.788330 -65.906139
    Oben rechts KachelX + 1 102597 KachelY 97756 1.77658944 -1.15027912 101.791077 -65.906139
    Unten links KachelX 102596 KachelY + 1 97757 1.77654150 -1.15029869 101.788330 -65.907260
    Unten rechts KachelX + 1 102597 KachelY + 1 97757 1.77658944 -1.15029869 101.791077 -65.907260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15027912--1.15029869) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15027912--1.15029869) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77654150-1.77658944) × cos(-1.15027912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		do = 124.684760532957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77654150-1.77658944) × cos(-1.15029869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408214789205145 × 6371000     		du = 124.679304071844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15027912)-sin(-1.15029869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408232654304245-0.408214789205145)×R²
    abs(1.77658944-1.77654150)×1.78650991004559e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78650991004559e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78650991004559e-05×40589641000000     		ar = 15545.4143884253m²