Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102594 / 99959
↖ ↑ ↗
← S 68.260233°
E101.782837°		 ← 113.10 m → S 68.260233°
E101.785583°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.261250°
E101.782837°		 ← 113.10 m →
12 797 m²		 S 68.261250°
E101.785583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782733917236328 y=0.762630462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782733917236328 × 217)
    floor (0.782733917236328 × 131072)
    floor (102594.5)     		tx = 102594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762630462646484 × 217)
    floor (0.762630462646484 × 131072)
    floor (99959.5)     		ty = 99959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102594 / 99959 ti = "17/102594/99959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102594/99959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102594 ÷ 217
    102594 ÷ 131072     		x = 0.782730102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99959 ÷ 217
    99959 ÷ 131072     		y = 0.762626647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782730102539062 × 2 - 1) × π
    0.565460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77644563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762626647949219 × 2 - 1) × π
    -0.525253295898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65013189562119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77644563} λ = 1.77644563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65013189562119))-π/2
    2×atan(0.192024579749177)-π/2
    2×0.189715257770962-π/2
    0.379430515541925-1.57079632675     		φ = -1.19136581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77644563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.782837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19136581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.260233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102594 KachelY 99959 1.77644563 -1.19136581 101.782837 -68.260233
    Oben rechts KachelX + 1 102595 KachelY 99959 1.77649356 -1.19136581 101.785583 -68.260233
    Unten links KachelX 102594 KachelY + 1 99960 1.77644563 -1.19138357 101.782837 -68.261250
    Unten rechts KachelX + 1 102595 KachelY + 1 99960 1.77649356 -1.19138357 101.785583 -68.261250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19136581--1.19138357) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19136581--1.19138357) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77644563-1.77649356) × cos(-1.19136581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370391550381619 × 6371000     		do = 113.103515719448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77644563-1.77649356) × cos(-1.19138357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370375053490455 × 6371000     		du = 113.098478195273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19136581)-sin(-1.19138357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370391550381619-0.370375053490455)×R²
    abs(1.77649356-1.77644563)×1.64968911640084e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64968911640084e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64968911640084e-05×40589641000000     		ar = 12797.2601809645m²