Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102594 / 99278
↖ ↑ ↗
← S 67.556851°
E101.782837°		 ← 116.58 m → S 67.556851°
E101.785583°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
S 67.557899°
E101.782837°		 ← 116.57 m →
13 591 m²		 S 67.557899°
E101.785583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782733917236328 y=0.757434844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782733917236328 × 217)
    floor (0.782733917236328 × 131072)
    floor (102594.5)     		tx = 102594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757434844970703 × 217)
    floor (0.757434844970703 × 131072)
    floor (99278.5)     		ty = 99278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102594 / 99278 ti = "17/102594/99278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102594/99278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102594 ÷ 217
    102594 ÷ 131072     		x = 0.782730102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99278 ÷ 217
    99278 ÷ 131072     		y = 0.757431030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782730102539062 × 2 - 1) × π
    0.565460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77644563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757431030273438 × 2 - 1) × π
    -0.514862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61748686697993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77644563} λ = 1.77644563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61748686697993))-π/2
    2×atan(0.198396670310785)-π/2
    2×0.195853422418001-π/2
    0.391706844836003-1.57079632675     		φ = -1.17908948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77644563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.782837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17908948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.556851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102594 KachelY 99278 1.77644563 -1.17908948 101.782837 -67.556851
    Oben rechts KachelX + 1 102595 KachelY 99278 1.77649356 -1.17908948 101.785583 -67.556851
    Unten links KachelX 102594 KachelY + 1 99279 1.77644563 -1.17910778 101.782837 -67.557899
    Unten rechts KachelX + 1 102595 KachelY + 1 99279 1.77649356 -1.17910778 101.785583 -67.557899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17908948--1.17910778) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17908948--1.17910778) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77644563-1.77649356) × cos(-1.17908948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381766538614757 × 6371000     		do = 116.577005217547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77644563-1.77649356) × cos(-1.17910778) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381749624614984 × 6371000     		du = 116.571840324241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17908948)-sin(-1.17910778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381766538614757-0.381749624614984)×R²
    abs(1.77649356-1.77644563)×1.69139997720502e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69139997720502e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69139997720502e-05×40589641000000     		ar = 13591.330349131m²