Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102594 / 98495
↖ ↑ ↗
← S 66.721456°
E101.782837°		 ← 120.68 m → S 66.721456°
E101.785583°		 →
↑
120.67 m
↓
↑
120.67 m
↓
S 66.722541°
E101.782837°		 ← 120.67 m →
14 562 m²		 S 66.722541°
E101.785583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782733917236328 y=0.751461029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782733917236328 × 217)
    floor (0.782733917236328 × 131072)
    floor (102594.5)     		tx = 102594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751461029052734 × 217)
    floor (0.751461029052734 × 131072)
    floor (98495.5)     		ty = 98495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102594 / 98495 ti = "17/102594/98495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102594/98495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102594 ÷ 217
    102594 ÷ 131072     		x = 0.782730102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98495 ÷ 217
    98495 ÷ 131072     		y = 0.751457214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782730102539062 × 2 - 1) × π
    0.565460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77644563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751457214355469 × 2 - 1) × π
    -0.502914428710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.57995227457743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77644563} λ = 1.77644563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57995227457743))-π/2
    2×atan(0.205984928688064)-π/2
    2×0.203143619876464-π/2
    0.406287239752928-1.57079632675     		φ = -1.16450909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77644563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.782837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16450909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.721456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102594 KachelY 98495 1.77644563 -1.16450909 101.782837 -66.721456
    Oben rechts KachelX + 1 102595 KachelY 98495 1.77649356 -1.16450909 101.785583 -66.721456
    Unten links KachelX 102594 KachelY + 1 98496 1.77644563 -1.16452803 101.782837 -66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 102595 KachelY + 1 98496 1.77649356 -1.16452803 101.785583 -66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16450909--1.16452803) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dl = 120.666740000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16450909--1.16452803) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dr = 120.666740000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77644563-1.77649356) × cos(-1.16450909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395201536027686 × 6371000     		do = 120.679543300606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77644563-1.77649356) × cos(-1.16452803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 120.674230535795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16450909)-sin(-1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395201536027686-0.395184137778101)×R²
    abs(1.77649356-1.77644563)×1.73982495841885e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73982495841885e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73982495841885e-05×40589641000000     		ar = 14561.6865384111m²