Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102593 / 99277
↖ ↑ ↗
← S 67.555802°
E101.780090°		 ← 116.61 m → S 67.555802°
E101.782837°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
S 67.556851°
E101.780090°		 ← 116.60 m →
13 595 m²		 S 67.556851°
E101.782837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782726287841797 y=0.757427215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782726287841797 × 217)
    floor (0.782726287841797 × 131072)
    floor (102593.5)     		tx = 102593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757427215576172 × 217)
    floor (0.757427215576172 × 131072)
    floor (99277.5)     		ty = 99277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102593 / 99277 ti = "17/102593/99277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102593/99277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102593 ÷ 217
    102593 ÷ 131072     		x = 0.782722473144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99277 ÷ 217
    99277 ÷ 131072     		y = 0.757423400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782722473144531 × 2 - 1) × π
    0.565444946289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.77639769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757423400878906 × 2 - 1) × π
    -0.514846801757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61743893008031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77639769} λ = 1.77639769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61743893008031))-π/2
    2×atan(0.19840618106001)-π/2
    2×0.195862572972789-π/2
    0.391725145945577-1.57079632675     		φ = -1.17907118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77639769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.780090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17907118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.555802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102593 KachelY 99277 1.77639769 -1.17907118 101.780090 -67.555802
    Oben rechts KachelX + 1 102594 KachelY 99277 1.77644563 -1.17907118 101.782837 -67.555802
    Unten links KachelX 102593 KachelY + 1 99278 1.77639769 -1.17908948 101.780090 -67.556851
    Unten rechts KachelX + 1 102594 KachelY + 1 99278 1.77644563 -1.17908948 101.782837 -67.556851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17907118--1.17908948) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17907118--1.17908948) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77639769-1.77644563) × cos(-1.17907118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381783452486679 × 6371000     		do = 116.606493495422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77639769-1.77644563) × cos(-1.17908948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381766538614757 × 6371000     		du = 116.601327563574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17907118)-sin(-1.17908948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381783452486679-0.381766538614757)×R²
    abs(1.77644563-1.77639769)×1.69138719223194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69138719223194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69138719223194e-05×40589641000000     		ar = 13594.7683063552m²