Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102590 / 99270
↖ ↑ ↗
← S 67.548461°
E101.771851°		 ← 116.64 m → S 67.548461°
E101.774597°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
S 67.549510°
E101.771851°		 ← 116.64 m →
13 606 m²		 S 67.549510°
E101.774597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782703399658203 y=0.757373809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782703399658203 × 217)
    floor (0.782703399658203 × 131072)
    floor (102590.5)     		tx = 102590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757373809814453 × 217)
    floor (0.757373809814453 × 131072)
    floor (99270.5)     		ty = 99270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102590 / 99270 ti = "17/102590/99270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102590/99270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102590 ÷ 217
    102590 ÷ 131072     		x = 0.782699584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99270 ÷ 217
    99270 ÷ 131072     		y = 0.757369995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782699584960938 × 2 - 1) × π
    0.565399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77625388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757369995117188 × 2 - 1) × π
    -0.514739990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61710337178297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77625388} λ = 1.77625388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61710337178297))-π/2
    2×atan(0.198472769071764)-π/2
    2×0.19592663820921-π/2
    0.391853276418421-1.57079632675     		φ = -1.17894305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77625388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.771851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17894305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.548461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102590 KachelY 99270 1.77625388 -1.17894305 101.771851 -67.548461
    Oben rechts KachelX + 1 102591 KachelY 99270 1.77630182 -1.17894305 101.774597 -67.548461
    Unten links KachelX 102590 KachelY + 1 99271 1.77625388 -1.17896136 101.771851 -67.549510
    Unten rechts KachelX + 1 102591 KachelY + 1 99271 1.77630182 -1.17896136 101.774597 -67.549510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17894305--1.17896136) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17894305--1.17896136) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77625388-1.77630182) × cos(-1.17894305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381901873735951 × 6371000     		do = 116.642662393113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77625388-1.77630182) × cos(-1.17896136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381884951517247 × 6371000     		du = 116.637493911943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17894305)-sin(-1.17896136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381901873735951-0.381884951517247)×R²
    abs(1.77630182-1.77625388)×1.69222187040852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69222187040852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69222187040852e-05×40589641000000     		ar = 13606.416203579m²