Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102588 / 99267
↖ ↑ ↗
← S 67.545314°
E101.766357°		 ← 116.66 m → S 67.545314°
E101.769104°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
S 67.546363°
E101.766357°		 ← 116.65 m →
13 601 m²		 S 67.546363°
E101.769104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782688140869141 y=0.757350921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782688140869141 × 217)
    floor (0.782688140869141 × 131072)
    floor (102588.5)     		tx = 102588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757350921630859 × 217)
    floor (0.757350921630859 × 131072)
    floor (99267.5)     		ty = 99267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102588 / 99267 ti = "17/102588/99267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102588/99267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102588 ÷ 217
    102588 ÷ 131072     		x = 0.782684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99267 ÷ 217
    99267 ÷ 131072     		y = 0.757347106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782684326171875 × 2 - 1) × π
    0.56536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77615800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757347106933594 × 2 - 1) × π
    -0.514694213867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.61695956108411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77615800} λ = 1.77615800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61695956108411))-π/2
    2×atan(0.198501313631846)-π/2
    2×0.195954100821842-π/2
    0.391908201643683-1.57079632675     		φ = -1.17888813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77615800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.766357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17888813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.545314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102588 KachelY 99267 1.77615800 -1.17888813 101.766357 -67.545314
    Oben rechts KachelX + 1 102589 KachelY 99267 1.77620594 -1.17888813 101.769104 -67.545314
    Unten links KachelX 102588 KachelY + 1 99268 1.77615800 -1.17890643 101.766357 -67.546363
    Unten rechts KachelX + 1 102589 KachelY + 1 99268 1.77620594 -1.17890643 101.769104 -67.546363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17888813--1.17890643) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17888813--1.17890643) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77615800-1.77620594) × cos(-1.17888813) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.381952630382012 × 6371000     		do = 116.658164779836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77615800-1.77620594) × cos(-1.17890643) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.381935717789249 × 6371000     		du = 116.652999238676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17888813)-sin(-1.17890643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381952630382012-0.381935717789249)×R²
    abs(1.77620594-1.77615800)×1.69125927633185e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69125927633185e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69125927633185e-05×40589641000000     		ar = 13600.7926479332m²