Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10258 / 6114
↖ ↑ ↗
← N 81.118693°
W123.651123°		 ← 94.30 m → N 81.118693°
W123.645630°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 81.117844°
W123.651123°		 ← 94.31 m →
8 898 m²		 N 81.117844°
W123.645630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156532287597656 y=0.0932998657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156532287597656 × 216)
    floor (0.156532287597656 × 65536)
    floor (10258.5)     		tx = 10258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932998657226562 × 216)
    floor (0.0932998657226562 × 65536)
    floor (6114.5)     		ty = 6114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10258 / 6114 ti = "16/10258/6114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10258/6114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10258 ÷ 216
    10258 ÷ 65536     		x = 0.156524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6114 ÷ 216
    6114 ÷ 65536     		y = 0.093292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.68695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15811922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093292236328125 × 2 - 1) × π
    0.81341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55542024494595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15811922} λ = -2.15811922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55542024494595))-π/2
    2×atan(12.8767098928835)-π/2
    2×1.49329229708016-π/2
    2.98658459416033-1.57079632675     		φ = 1.41578827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15811922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.651123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41578827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.118693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10258 KachelY 6114 -2.15811922 1.41578827 -123.651123 81.118693
    Oben rechts KachelX + 1 10259 KachelY 6114 -2.15802335 1.41578827 -123.645630 81.118693
    Unten links KachelX 10258 KachelY + 1 6115 -2.15811922 1.41577346 -123.651123 81.117844
    Unten rechts KachelX + 1 10259 KachelY + 1 6115 -2.15802335 1.41577346 -123.645630 81.117844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41578827-1.41577346) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dl = 94.3545099994949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41578827-1.41577346) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dr = 94.3545099994949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15811922--2.15802335) × cos(1.41578827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154388059492392 × 6371000     		do = 94.2983385719832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15811922--2.15802335) × cos(1.41577346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154402691907809 × 6371000     		du = 94.3072758723658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41578827)-sin(1.41577346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154388059492392-0.154402691907809)×R²
    abs(-2.15802335--2.15811922)×1.46324154174371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46324154174371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46324154174371e-05×40589641000000     		ar = 8897.8951672187m²