Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102578 / 99274
↖ ↑ ↗
← S 67.552656°
E101.738892°		 ← 116.60 m → S 67.552656°
E101.741638°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
S 67.553705°
E101.738892°		 ← 116.59 m →
13 601 m²		 S 67.553705°
E101.741638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782611846923828 y=0.757404327392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782611846923828 × 217)
    floor (0.782611846923828 × 131072)
    floor (102578.5)     		tx = 102578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757404327392578 × 217)
    floor (0.757404327392578 × 131072)
    floor (99274.5)     		ty = 99274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102578 / 99274 ti = "17/102578/99274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102578/99274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102578 ÷ 217
    102578 ÷ 131072     		x = 0.782608032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99274 ÷ 217
    99274 ÷ 131072     		y = 0.757400512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782608032226562 × 2 - 1) × π
    0.565216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77567864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757400512695312 × 2 - 1) × π
    -0.514801025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61729511938145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77567864} λ = 1.77567864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61729511938145))-π/2
    2×atan(0.198434716043336)-π/2
    2×0.195890027069798-π/2
    0.391780054139595-1.57079632675     		φ = -1.17901627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77567864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.738892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17901627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.552656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102578 KachelY 99274 1.77567864 -1.17901627 101.738892 -67.552656
    Oben rechts KachelX + 1 102579 KachelY 99274 1.77572657 -1.17901627 101.741638 -67.552656
    Unten links KachelX 102578 KachelY + 1 99275 1.77567864 -1.17903458 101.738892 -67.553705
    Unten rechts KachelX + 1 102579 KachelY + 1 99275 1.77572657 -1.17903458 101.741638 -67.553705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17901627--1.17903458) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17901627--1.17903458) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77567864-1.77572657) × cos(-1.17901627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381834202577599 × 6371000     		do = 116.597667222598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77567864-1.77572657) × cos(-1.17903458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381817279846951 × 6371000     		du = 116.592499663215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17901627)-sin(-1.17903458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381834202577599-0.381817279846951)×R²
    abs(1.77572657-1.77567864)×1.69227306472397e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69227306472397e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69227306472397e-05×40589641000000     		ar = 13601.1674349869m²