Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102573 / 98625
↖ ↑ ↗
← S 66.862161°
E101.725159°		 ← 120.02 m → S 66.862161°
E101.727905°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.863241°
E101.725159°		 ← 120.01 m →
14 405 m²		 S 66.863241°
E101.727905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782573699951172 y=0.752452850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782573699951172 × 217)
    floor (0.782573699951172 × 131072)
    floor (102573.5)     		tx = 102573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752452850341797 × 217)
    floor (0.752452850341797 × 131072)
    floor (98625.5)     		ty = 98625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102573 / 98625 ti = "17/102573/98625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102573/98625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102573 ÷ 217
    102573 ÷ 131072     		x = 0.782569885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98625 ÷ 217
    98625 ÷ 131072     		y = 0.752449035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782569885253906 × 2 - 1) × π
    0.565139770507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.77543895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752449035644531 × 2 - 1) × π
    -0.504898071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.58618407152804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77543895} λ = 1.77543895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58618407152804))-π/2
    2×atan(0.204705263884549)-π/2
    2×0.201915731118033-π/2
    0.403831462236066-1.57079632675     		φ = -1.16696486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77543895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.725159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16696486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.862161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102573 KachelY 98625 1.77543895 -1.16696486 101.725159 -66.862161
    Oben rechts KachelX + 1 102574 KachelY 98625 1.77548689 -1.16696486 101.727905 -66.862161
    Unten links KachelX 102573 KachelY + 1 98626 1.77543895 -1.16698370 101.725159 -66.863241
    Unten rechts KachelX + 1 102574 KachelY + 1 98626 1.77548689 -1.16698370 101.727905 -66.863241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16696486--1.16698370) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16696486--1.16698370) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77543895-1.77548689) × cos(-1.16696486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392944489934883 × 6371000     		do = 120.015361617206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77543895-1.77548689) × cos(-1.16698370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39292716531342 × 6371000     		du = 120.010070231875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16696486)-sin(-1.16698370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392944489934883-0.39292716531342)×R²
    abs(1.77548689-1.77543895)×1.73246214627554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73246214627554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73246214627554e-05×40589641000000     		ar = 14405.0830884906m²