Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10257 / 6115
↖ ↑ ↗
← N 81.117844°
W123.656616°		 ← 94.31 m → N 81.117844°
W123.651123°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 81.116996°
W123.656616°		 ← 94.32 m →
8 893 m²		 N 81.116996°
W123.651123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156517028808594 y=0.0933151245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156517028808594 × 216)
    floor (0.156517028808594 × 65536)
    floor (10257.5)     		tx = 10257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933151245117188 × 216)
    floor (0.0933151245117188 × 65536)
    floor (6115.5)     		ty = 6115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10257 / 6115 ti = "16/10257/6115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10257/6115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10257 ÷ 216
    10257 ÷ 65536     		x = 0.156509399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6115 ÷ 216
    6115 ÷ 65536     		y = 0.0933074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156509399414062 × 2 - 1) × π
    -0.686981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15821509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933074951171875 × 2 - 1) × π
    0.813385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55532437114671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15821509} λ = -2.15821509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55532437114671))-π/2
    2×atan(12.8754754129624)-π/2
    2×1.49328489584459-π/2
    2.98656979168919-1.57079632675     		φ = 1.41577346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15821509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.656616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41577346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.117844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10257 KachelY 6115 -2.15821509 1.41577346 -123.656616 81.117844
    Oben rechts KachelX + 1 10258 KachelY 6115 -2.15811922 1.41577346 -123.651123 81.117844
    Unten links KachelX 10257 KachelY + 1 6116 -2.15821509 1.41575866 -123.656616 81.116996
    Unten rechts KachelX + 1 10258 KachelY + 1 6116 -2.15811922 1.41575866 -123.651123 81.116996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41577346-1.41575866) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41577346-1.41575866) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15821509--2.15811922) × cos(1.41577346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154402691907809 × 6371000     		do = 94.3072758723658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15821509--2.15811922) × cos(1.41575866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154417314409303 × 6371000     		du = 94.3162071174453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41577346)-sin(1.41575866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154402691907809-0.154417314409303)×R²
    abs(-2.15811922--2.15821509)×1.46225014942547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46225014942547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46225014942547e-05×40589641000000     		ar = 8892.72955514671m²