Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102567 / 99417
↖ ↑ ↗
← S 67.702152°
E101.708679°		 ← 115.89 m → S 67.702152°
E101.711426°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.703194°
E101.708679°		 ← 115.88 m →
13 429 m²		 S 67.703194°
E101.711426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782527923583984 y=0.758495330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782527923583984 × 217)
    floor (0.782527923583984 × 131072)
    floor (102567.5)     		tx = 102567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758495330810547 × 217)
    floor (0.758495330810547 × 131072)
    floor (99417.5)     		ty = 99417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102567 / 99417 ti = "17/102567/99417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102567/99417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102567 ÷ 217
    102567 ÷ 131072     		x = 0.782524108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99417 ÷ 217
    99417 ÷ 131072     		y = 0.758491516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782524108886719 × 2 - 1) × π
    0.565048217773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.77515133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758491516113281 × 2 - 1) × π
    -0.516983032226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.62415009602712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77515133} λ = 1.77515133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62415009602712))-π/2
    2×atan(0.197079102357679)-π/2
    2×0.194585433338241-π/2
    0.389170866676483-1.57079632675     		φ = -1.18162546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77515133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.708679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18162546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.702152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102567 KachelY 99417 1.77515133 -1.18162546 101.708679 -67.702152
    Oben rechts KachelX + 1 102568 KachelY 99417 1.77519927 -1.18162546 101.711426 -67.702152
    Unten links KachelX 102567 KachelY + 1 99418 1.77515133 -1.18164365 101.708679 -67.703194
    Unten rechts KachelX + 1 102568 KachelY + 1 99418 1.77519927 -1.18164365 101.711426 -67.703194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18162546--1.18164365) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18162546--1.18164365) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77515133-1.77519927) × cos(-1.18162546) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.379421411715286 × 6371000     		do = 115.885065445447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77515133-1.77519927) × cos(-1.18164365) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.379404581828525 × 6371000     		du = 115.879925164829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18162546)-sin(-1.18164365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379421411715286-0.379404581828525)×R²
    abs(1.77519927-1.77515133)×1.6829886761216e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.6829886761216e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.6829886761216e-05×40589641000000     		ar = 13429.4473986754m²