Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102565 / 99371
↖ ↑ ↗
← S 67.654165°
E101.703186°		 ← 116.10 m → S 67.654165°
E101.705932°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.655210°
E101.703186°		 ← 116.09 m →
13 484 m²		 S 67.655210°
E101.705932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782512664794922 y=0.758144378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782512664794922 × 217)
    floor (0.782512664794922 × 131072)
    floor (102565.5)     		tx = 102565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758144378662109 × 217)
    floor (0.758144378662109 × 131072)
    floor (99371.5)     		ty = 99371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102565 / 99371 ti = "17/102565/99371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102565/99371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102565 ÷ 217
    102565 ÷ 131072     		x = 0.782508850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99371 ÷ 217
    99371 ÷ 131072     		y = 0.758140563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782508850097656 × 2 - 1) × π
    0.565017700195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.77505546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758140563964844 × 2 - 1) × π
    -0.516281127929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.6219449986446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77505546} λ = 1.77505546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6219449986446))-π/2
    2×atan(0.1975141604669)-π/2
    2×0.195004190901373-π/2
    0.390008381802747-1.57079632675     		φ = -1.18078794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77505546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.703186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18078794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.654165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102565 KachelY 99371 1.77505546 -1.18078794 101.703186 -67.654165
    Oben rechts KachelX + 1 102566 KachelY 99371 1.77510339 -1.18078794 101.705932 -67.654165
    Unten links KachelX 102565 KachelY + 1 99372 1.77505546 -1.18080617 101.703186 -67.655210
    Unten rechts KachelX + 1 102566 KachelY + 1 99372 1.77510339 -1.18080617 101.705932 -67.655210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18078794--1.18080617) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18078794--1.18080617) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77505546-1.77510339) × cos(-1.18078794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380196172132373 × 6371000     		do = 116.097474920642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77505546-1.77510339) × cos(-1.18080617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380179311035165 × 6371000     		du = 116.092326181771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18078794)-sin(-1.18080617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380196172132373-0.380179311035165)×R²
    abs(1.77510339-1.77505546)×1.68610972080541e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68610972080541e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68610972080541e-05×40589641000000     		ar = 13483.6483465542m²