Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102564 / 99372
↖ ↑ ↗
← S 67.655210°
E101.700440°		 ← 116.12 m → S 67.655210°
E101.703186°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
S 67.656254°
E101.700440°		 ← 116.11 m →
13 478 m²		 S 67.656254°
E101.703186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782505035400391 y=0.758152008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782505035400391 × 217)
    floor (0.782505035400391 × 131072)
    floor (102564.5)     		tx = 102564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758152008056641 × 217)
    floor (0.758152008056641 × 131072)
    floor (99372.5)     		ty = 99372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102564 / 99372 ti = "17/102564/99372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102564/99372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102564 ÷ 217
    102564 ÷ 131072     		x = 0.782501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99372 ÷ 217
    99372 ÷ 131072     		y = 0.758148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782501220703125 × 2 - 1) × π
    0.56500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77500752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.51629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62199293554422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77500752} λ = 1.77500752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62199293554422))-π/2
    2×atan(0.197504692477351)-π/2
    2×0.194995078390627-π/2
    0.389990156781255-1.57079632675     		φ = -1.18080617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77500752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.700440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18080617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.655210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102564 KachelY 99372 1.77500752 -1.18080617 101.700440 -67.655210
    Oben rechts KachelX + 1 102565 KachelY 99372 1.77505546 -1.18080617 101.703186 -67.655210
    Unten links KachelX 102564 KachelY + 1 99373 1.77500752 -1.18082439 101.700440 -67.656254
    Unten rechts KachelX + 1 102565 KachelY + 1 99373 1.77505546 -1.18082439 101.703186 -67.656254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18080617--1.18082439) × R
    1.82199999998467e-05 × 6371000     		dl = 116.079619999023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18080617--1.18082439) × R
    1.82199999998467e-05 × 6371000     		dr = 116.079619999023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77500752-1.77505546) × cos(-1.18080617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380179311035165 × 6371000     		do = 116.116547405529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77500752-1.77505546) × cos(-1.18082439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380162459060809 × 6371000     		du = 116.111400378791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18080617)-sin(-1.18082439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380179311035165-0.380162459060809)×R²
    abs(1.77505546-1.77500752)×1.68519743566353e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68519743566353e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68519743566353e-05×40589641000000     		ar = 13478.4659662307m²