Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10256 / 6128
↖ ↑ ↗
← N 81.106812°
W123.662109°		 ← 94.43 m → N 81.106812°
W123.656616°		 →
↑
94.48 m
↓
↑
94.48 m
↓
N 81.105962°
W123.662109°		 ← 94.44 m →
8 923 m²		 N 81.105962°
W123.656616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156501770019531 y=0.0935134887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156501770019531 × 216)
    floor (0.156501770019531 × 65536)
    floor (10256.5)     		tx = 10256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935134887695312 × 216)
    floor (0.0935134887695312 × 65536)
    floor (6128.5)     		ty = 6128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10256 / 6128 ti = "16/10256/6128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10256/6128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10256 ÷ 216
    10256 ÷ 65536     		x = 0.156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6128 ÷ 216
    6128 ÷ 65536     		y = 0.093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.68701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15831097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093505859375 × 2 - 1) × π
    0.81298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55407801175659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15831097} λ = -2.15831097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55407801175659))-π/2
    2×atan(12.859437939583)-π/2
    2×1.49318861595775-π/2
    2.98637723191551-1.57079632675     		φ = 1.41558091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15831097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41558091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.106812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10256 KachelY 6128 -2.15831097 1.41558091 -123.662109 81.106812
    Oben rechts KachelX + 1 10257 KachelY 6128 -2.15821509 1.41558091 -123.656616 81.106812
    Unten links KachelX 10256 KachelY + 1 6129 -2.15831097 1.41556608 -123.662109 81.105962
    Unten rechts KachelX + 1 10257 KachelY + 1 6129 -2.15821509 1.41556608 -123.656616 81.105962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41558091-1.41556608) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dl = 94.4819300001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41558091-1.41556608) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dr = 94.4819300001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15831097--2.15821509) × cos(1.41558091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15459292998482 × 6371000     		do = 94.4333200787017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15831097--2.15821509) × cos(1.41556608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154607581685294 × 6371000     		du = 94.4422700916206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41558091)-sin(1.41556608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15459292998482-0.154607581685294)×R²
    abs(-2.15821509--2.15831097)×1.4651700473739e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4651700473739e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4651700473739e-05×40589641000000     		ar = 8922.66514478475m²