Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10256 / 14352
↖ ↑ ↗
← N 70.583417°
W123.662109°		 ← 203.07 m → N 70.583417°
W123.656616°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
N 70.581591°
W123.662109°		 ← 203.09 m →
41 234 m²		 N 70.581591°
W123.656616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156501770019531 y=0.219001770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156501770019531 × 216)
    floor (0.156501770019531 × 65536)
    floor (10256.5)     		tx = 10256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219001770019531 × 216)
    floor (0.219001770019531 × 65536)
    floor (14352.5)     		ty = 14352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10256 / 14352 ti = "16/10256/14352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10256/14352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10256 ÷ 216
    10256 ÷ 65536     		x = 0.156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14352 ÷ 216
    14352 ÷ 65536     		y = 0.218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.68701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15831097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    0.56201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76561188680591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15831097} λ = -2.15831097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76561188680591))-π/2
    2×atan(5.84514783291905)-π/2
    2×1.40135467993365-π/2
    2.80270935986731-1.57079632675     		φ = 1.23191303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15831097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23191303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.583417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10256 KachelY 14352 -2.15831097 1.23191303 -123.662109 70.583417
    Oben rechts KachelX + 1 10257 KachelY 14352 -2.15821509 1.23191303 -123.656616 70.583417
    Unten links KachelX 10256 KachelY + 1 14353 -2.15831097 1.23188116 -123.662109 70.581591
    Unten rechts KachelX + 1 10257 KachelY + 1 14353 -2.15821509 1.23188116 -123.656616 70.581591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23191303-1.23188116) × R
    3.18700000001559e-05 × 6371000     		dl = 203.043770000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23191303-1.23188116) × R
    3.18700000001559e-05 × 6371000     		dr = 203.043770000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15831097--2.15821509) × cos(1.23191303) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332434107269476 × 6371000     		do = 203.067866427905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15831097--2.15821509) × cos(1.23188116) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332464164541681 × 6371000     		du = 203.086226957116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23191303)-sin(1.23188116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332434107269476-0.332464164541681)×R²
    abs(-2.15821509--2.15831097)×3.00572722055636e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00572722055636e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00572722055636e-05×40589641000000     		ar = 41233.5291647222m²