Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102557 / 99385
↖ ↑ ↗
← S 67.668780°
E101.681213°		 ← 116.05 m → S 67.668780°
E101.683960°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
S 67.669824°
E101.681213°		 ← 116.04 m →
13 471 m²		 S 67.669824°
E101.683960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782451629638672 y=0.758251190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782451629638672 × 217)
    floor (0.782451629638672 × 131072)
    floor (102557.5)     		tx = 102557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758251190185547 × 217)
    floor (0.758251190185547 × 131072)
    floor (99385.5)     		ty = 99385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102557 / 99385 ti = "17/102557/99385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102557/99385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102557 ÷ 217
    102557 ÷ 131072     		x = 0.782447814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99385 ÷ 217
    99385 ÷ 131072     		y = 0.758247375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782447814941406 × 2 - 1) × π
    0.564895629882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.77467196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758247375488281 × 2 - 1) × π
    -0.516494750976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.62261611523928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77467196} λ = 1.77467196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62261611523928))-π/2
    2×atan(0.197381649906117)-π/2
    2×0.19487665251102-π/2
    0.389753305022039-1.57079632675     		φ = -1.18104302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77467196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.681213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18104302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.668780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102557 KachelY 99385 1.77467196 -1.18104302 101.681213 -67.668780
    Oben rechts KachelX + 1 102558 KachelY 99385 1.77471990 -1.18104302 101.683960 -67.668780
    Unten links KachelX 102557 KachelY + 1 99386 1.77467196 -1.18106124 101.681213 -67.669824
    Unten rechts KachelX + 1 102558 KachelY + 1 99386 1.77471990 -1.18106124 101.683960 -67.669824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18104302--1.18106124) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18104302--1.18106124) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77467196-1.77471990) × cos(-1.18104302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379960234776405 × 6371000     		do = 116.049635877081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77467196-1.77471990) × cos(-1.18106124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379943381161929 × 6371000     		du = 116.044488349408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18104302)-sin(-1.18106124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379960234776405-0.379943381161929)×R²
    abs(1.77471990-1.77467196)×1.68536144762865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68536144762865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68536144762865e-05×40589641000000     		ar = 13470.6988727533m²