Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102555 / 99387
↖ ↑ ↗
← S 67.670868°
E101.675720°		 ← 116.02 m → S 67.670868°
E101.678467°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
S 67.671911°
E101.675720°		 ← 116.01 m →
13 459 m²		 S 67.671911°
E101.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782436370849609 y=0.758266448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782436370849609 × 217)
    floor (0.782436370849609 × 131072)
    floor (102555.5)     		tx = 102555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758266448974609 × 217)
    floor (0.758266448974609 × 131072)
    floor (99387.5)     		ty = 99387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102555 / 99387 ti = "17/102555/99387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102555/99387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102555 ÷ 217
    102555 ÷ 131072     		x = 0.782432556152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99387 ÷ 217
    99387 ÷ 131072     		y = 0.758262634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782432556152344 × 2 - 1) × π
    0.564865112304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.77457609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758262634277344 × 2 - 1) × π
    -0.516525268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62271198903852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77457609} λ = 1.77457609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62271198903852))-π/2
    2×atan(0.197362727084557)-π/2
    2×0.19485843920309-π/2
    0.389716878406181-1.57079632675     		φ = -1.18107945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77457609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.675720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18107945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.670868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102555 KachelY 99387 1.77457609 -1.18107945 101.675720 -67.670868
    Oben rechts KachelX + 1 102556 KachelY 99387 1.77462402 -1.18107945 101.678467 -67.670868
    Unten links KachelX 102555 KachelY + 1 99388 1.77457609 -1.18109766 101.675720 -67.671911
    Unten rechts KachelX + 1 102556 KachelY + 1 99388 1.77462402 -1.18109766 101.678467 -67.671911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18107945--1.18109766) × R
    1.82100000001295e-05 × 6371000     		dl = 116.015910000825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18107945--1.18109766) × R
    1.82100000001295e-05 × 6371000     		dr = 116.015910000825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77457609-1.77462402) × cos(-1.18107945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37992653667149 × 6371000     		do = 116.015138488947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77457609-1.77462402) × cos(-1.18109766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379909692055066 × 6371000     		du = 116.009994782681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18107945)-sin(-1.18109766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37992653667149-0.379909692055066)×R²
    abs(1.77462402-1.77457609)×1.68446164240943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68446164240943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68446164240943e-05×40589641000000     		ar = 13459.3034901483m²