Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102552 / 99384
↖ ↑ ↗
← S 67.667737°
E101.667481°		 ← 116.03 m → S 67.667737°
E101.670227°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
S 67.668780°
E101.667481°		 ← 116.03 m →
13 461 m²		 S 67.668780°
E101.670227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782413482666016 y=0.758243560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782413482666016 × 217)
    floor (0.782413482666016 × 131072)
    floor (102552.5)     		tx = 102552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758243560791016 × 217)
    floor (0.758243560791016 × 131072)
    floor (99384.5)     		ty = 99384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102552 / 99384 ti = "17/102552/99384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102552/99384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102552 ÷ 217
    102552 ÷ 131072     		x = 0.78240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99384 ÷ 217
    99384 ÷ 131072     		y = 0.75823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78240966796875 × 2 - 1) × π
    0.5648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77443228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.5164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62256817833966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77443228} λ = 1.77443228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62256817833966))-π/2
    2×atan(0.197391111997246)-π/2
    2×0.194885759770711-π/2
    0.389771519541423-1.57079632675     		φ = -1.18102481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77443228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.667481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18102481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.667737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102552 KachelY 99384 1.77443228 -1.18102481 101.667481 -67.667737
    Oben rechts KachelX + 1 102553 KachelY 99384 1.77448021 -1.18102481 101.670227 -67.667737
    Unten links KachelX 102552 KachelY + 1 99385 1.77443228 -1.18104302 101.667481 -67.668780
    Unten rechts KachelX + 1 102553 KachelY + 1 99385 1.77448021 -1.18104302 101.670227 -67.668780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18102481--1.18104302) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dl = 116.01590999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18102481--1.18104302) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dr = 116.01590999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77443228-1.77448021) × cos(-1.18102481) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379977079014787 × 6371000     		do = 116.030572200959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77443228-1.77448021) × cos(-1.18104302) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379960234776405 × 6371000     		du = 116.025428610133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18102481)-sin(-1.18104302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379977079014787-0.379960234776405)×R²
    abs(1.77448021-1.77443228)×1.68442383823297e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.68442383823297e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.68442383823297e-05×40589641000000     		ar = 13461.0940528442m²