Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10255 / 14351
↖ ↑ ↗
← N 70.585243°
W123.667602°		 ← 203.03 m → N 70.585243°
W123.662109°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
N 70.583417°
W123.667602°		 ← 203.05 m →
41 226 m²		 N 70.583417°
W123.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156486511230469 y=0.218986511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156486511230469 × 216)
    floor (0.156486511230469 × 65536)
    floor (10255.5)     		tx = 10255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218986511230469 × 216)
    floor (0.218986511230469 × 65536)
    floor (14351.5)     		ty = 14351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10255 / 14351 ti = "16/10255/14351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10255/14351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10255 ÷ 216
    10255 ÷ 65536     		x = 0.156478881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14351 ÷ 216
    14351 ÷ 65536     		y = 0.218978881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156478881835938 × 2 - 1) × π
    -0.687042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15840684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218978881835938 × 2 - 1) × π
    0.562042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76570776060515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15840684} λ = -2.15840684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76570776060515))-π/2
    2×atan(5.84570825631344)-π/2
    2×1.4013706150735-π/2
    2.80274123014699-1.57079632675     		φ = 1.23194490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15840684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.667602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23194490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.585243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10255 KachelY 14351 -2.15840684 1.23194490 -123.667602 70.585243
    Oben rechts KachelX + 1 10256 KachelY 14351 -2.15831097 1.23194490 -123.662109 70.585243
    Unten links KachelX 10255 KachelY + 1 14352 -2.15840684 1.23191303 -123.667602 70.583417
    Unten rechts KachelX + 1 10256 KachelY + 1 14352 -2.15831097 1.23191303 -123.662109 70.583417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23194490-1.23191303) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23194490-1.23191303) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15840684--2.15831097) × cos(1.23194490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332404049659618 × 6371000     		do = 203.028328230563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15840684--2.15831097) × cos(1.23191303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332434107269476 × 6371000     		du = 203.046687051059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23194490)-sin(1.23191303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332404049659618-0.332434107269476)×R²
    abs(-2.15831097--2.15840684)×3.00576098576921e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00576098576921e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00576098576921e-05×40589641000000     		ar = 41225.501006256m²