Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102545 / 99373
S 67.656254°
E101.648255°
← 116.09 m → S 67.656254°
E101.651001°

116.14 m

116.14 m
S 67.657298°
E101.648255°
← 116.08 m →
13 482 m²
S 67.657298°
E101.651001°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782360076904297 y=0.758159637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782360076904297 × 217)
    floor (0.782360076904297 × 131072)
    floor (102545.5)
    tx = 102545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758159637451172 × 217)
    floor (0.758159637451172 × 131072)
    floor (99373.5)
    ty = 99373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102545 / 99373 ti = "17/102545/99373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102545/99373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102545 ÷ 217
    102545 ÷ 131072
    x = 0.782356262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99373 ÷ 217
    99373 ÷ 131072
    y = 0.758155822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.782356262207031 × 2 - 1) × π
    0.564712524414062 × 3.1415926535
    Λ = 1.77409672
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.758155822753906 × 2 - 1) × π
    -0.516311645507812 × 3.1415926535
    Φ = -1.62204087244384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77409672} λ = 1.77409672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62204087244384))-π/2
    2×atan(0.197495224941657)-π/2
    2×0.194985966283898-π/2
    0.389971932567796-1.57079632675
    φ = -1.18082439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77409672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.648255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18082439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.656254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102545 KachelY 99373 1.77409672 -1.18082439 101.648255 -67.656254
    Oben rechts KachelX + 1 102546 KachelY 99373 1.77414465 -1.18082439 101.651001 -67.656254
    Unten links KachelX 102545 KachelY + 1 99374 1.77409672 -1.18084262 101.648255 -67.657298
    Unten rechts KachelX + 1 102546 KachelY + 1 99374 1.77414465 -1.18084262 101.651001 -67.657298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.18082439--1.18084262) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000
    dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.18082439--1.18084262) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000
    dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.77409672-1.77414465) × cos(-1.18082439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380162459060809 × 6371000
    do = 116.087180228671m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.77409672-1.77414465) × cos(-1.18084262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380145597710983 × 6371000
    du = 116.08203141266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.18082439)-sin(-1.18084262))×
    abs(λ12)×abs(0.380162459060809-0.380145597710983)×
    abs(1.77414465-1.77409672)×1.68613498253145e-05×
    4.79300000000293e-05×1.68613498253145e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68613498253145e-05×40589641000000
    ar = 13482.4526822627m²