Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102542 / 99375
↖ ↑ ↗
← S 67.658342°
E101.640015°		 ← 116.08 m → S 67.658342°
E101.642761°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
S 67.659386°
E101.640015°		 ← 116.07 m →
13 474 m²		 S 67.659386°
E101.642761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782337188720703 y=0.758174896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782337188720703 × 217)
    floor (0.782337188720703 × 131072)
    floor (102542.5)     		tx = 102542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758174896240234 × 217)
    floor (0.758174896240234 × 131072)
    floor (99375.5)     		ty = 99375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102542 / 99375 ti = "17/102542/99375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102542/99375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102542 ÷ 217
    102542 ÷ 131072     		x = 0.782333374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99375 ÷ 217
    99375 ÷ 131072     		y = 0.758171081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782333374023438 × 2 - 1) × π
    0.564666748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77395291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758171081542969 × 2 - 1) × π
    -0.516342163085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.62213674624308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77395291} λ = 1.77395291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62213674624308))-π/2
    2×atan(0.197476291231748)-π/2
    2×0.19496774328243-π/2
    0.38993548656486-1.57079632675     		φ = -1.18086084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77395291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.640015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18086084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.658342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102542 KachelY 99375 1.77395291 -1.18086084 101.640015 -67.658342
    Oben rechts KachelX + 1 102543 KachelY 99375 1.77400084 -1.18086084 101.642761 -67.658342
    Unten links KachelX 102542 KachelY + 1 99376 1.77395291 -1.18087906 101.640015 -67.659386
    Unten rechts KachelX + 1 102543 KachelY + 1 99376 1.77400084 -1.18087906 101.642761 -67.659386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18086084--1.18087906) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18086084--1.18087906) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77395291-1.77400084) × cos(-1.18086084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380128745484159 × 6371000     		do = 116.076885382467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77395291-1.77400084) × cos(-1.18087906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380111893131144 × 6371000     		du = 116.07173931374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18086084)-sin(-1.18087906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380128745484159-0.380111893131144)×R²
    abs(1.77400084-1.77395291)×1.68523530151288e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68523530151288e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68523530151288e-05×40589641000000     		ar = 13473.8620696632m²