Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102537 / 99257
↖ ↑ ↗
← S 67.534821°
E101.626282°		 ← 116.71 m → S 67.534821°
E101.629028°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
S 67.535871°
E101.626282°		 ← 116.70 m →
13 622 m²		 S 67.535871°
E101.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782299041748047 y=0.757274627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782299041748047 × 217)
    floor (0.782299041748047 × 131072)
    floor (102537.5)     		tx = 102537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757274627685547 × 217)
    floor (0.757274627685547 × 131072)
    floor (99257.5)     		ty = 99257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102537 / 99257 ti = "17/102537/99257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102537/99257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102537 ÷ 217
    102537 ÷ 131072     		x = 0.782295227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99257 ÷ 217
    99257 ÷ 131072     		y = 0.757270812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782295227050781 × 2 - 1) × π
    0.564590454101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.77371322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757270812988281 × 2 - 1) × π
    -0.514541625976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.61648019208791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77371322} λ = 1.77371322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61648019208791))-π/2
    2×atan(0.198596491818219)-π/2
    2×0.196045669228925-π/2
    0.392091338457851-1.57079632675     		φ = -1.17870499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77371322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.626282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17870499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.534821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102537 KachelY 99257 1.77371322 -1.17870499 101.626282 -67.534821
    Oben rechts KachelX + 1 102538 KachelY 99257 1.77376116 -1.17870499 101.629028 -67.534821
    Unten links KachelX 102537 KachelY + 1 99258 1.77371322 -1.17872331 101.626282 -67.535871
    Unten rechts KachelX + 1 102538 KachelY + 1 99258 1.77376116 -1.17872331 101.629028 -67.535871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17870499--1.17872331) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dl = 116.71672000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17870499--1.17872331) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dr = 116.71672000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77371322-1.77376116) × cos(-1.17870499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382121878649219 × 6371000     		do = 116.709857556551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77371322-1.77376116) × cos(-1.17872331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382104948854432 × 6371000     		du = 116.704686761451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17870499)-sin(-1.17872331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382121878649219-0.382104948854432)×R²
    abs(1.77376116-1.77371322)×1.69297947870128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69297947870128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69297947870128e-05×40589641000000     		ar = 13621.690006961m²