Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102533 / 99435
↖ ↑ ↗
← S 67.720902°
E101.615296°		 ← 115.77 m → S 67.720902°
E101.618042°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
S 67.721944°
E101.615296°		 ← 115.76 m →
13 401 m²		 S 67.721944°
E101.618042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782268524169922 y=0.758632659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782268524169922 × 217)
    floor (0.782268524169922 × 131072)
    floor (102533.5)     		tx = 102533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758632659912109 × 217)
    floor (0.758632659912109 × 131072)
    floor (99435.5)     		ty = 99435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102533 / 99435 ti = "17/102533/99435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102533/99435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102533 ÷ 217
    102533 ÷ 131072     		x = 0.782264709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99435 ÷ 217
    99435 ÷ 131072     		y = 0.758628845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782264709472656 × 2 - 1) × π
    0.564529418945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.77352148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758628845214844 × 2 - 1) × π
    -0.517257690429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62501296022028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77352148} λ = 1.77352148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62501296022028))-π/2
    2×atan(0.196909123202044)-π/2
    2×0.19442180409086-π/2
    0.38884360818172-1.57079632675     		φ = -1.18195272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77352148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.615296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18195272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.720902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102533 KachelY 99435 1.77352148 -1.18195272 101.615296 -67.720902
    Oben rechts KachelX + 1 102534 KachelY 99435 1.77356941 -1.18195272 101.618042 -67.720902
    Unten links KachelX 102533 KachelY + 1 99436 1.77352148 -1.18197089 101.615296 -67.721944
    Unten rechts KachelX + 1 102534 KachelY + 1 99436 1.77356941 -1.18197089 101.618042 -67.721944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18195272--1.18197089) × R
    1.81700000001506e-05 × 6371000     		dl = 115.761070000959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18195272--1.18197089) × R
    1.81700000001506e-05 × 6371000     		dr = 115.761070000959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77352148-1.77356941) × cos(-1.18195272) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379118602606834 × 6371000     		do = 115.768426102321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77352148-1.77356941) × cos(-1.18197089) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379101788969481 × 6371000     		du = 115.763291855887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18195272)-sin(-1.18197089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379118602606834-0.379101788969481)×R²
    abs(1.77356941-1.77352148)×1.6813637352675e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.6813637352675e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.6813637352675e-05×40589641000000     		ar = 13401.1797053599m²