Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10253 / 2486
↖ ↑ ↗
← N 77.205912°
E 45.285644°		 ← 541.06 m → N 77.205912°
E 45.307617°		 →
↑
541.15 m
↓
↑
541.15 m
↓
N 77.201045°
E 45.285644°		 ← 541.26 m →
292 850 m²		 N 77.201045°
E 45.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625823974609375 y=0.151763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625823974609375 × 214)
    floor (0.625823974609375 × 16384)
    floor (10253.5)     		tx = 10253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151763916015625 × 214)
    floor (0.151763916015625 × 16384)
    floor (2486.5)     		ty = 2486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10253 / 2486 ti = "14/10253/2486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10253/2486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10253 ÷ 214
    10253 ÷ 16384     		x = 0.62579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2486 ÷ 214
    2486 ÷ 16384     		y = 0.1517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62579345703125 × 2 - 1) × π
    0.2515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79038360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1517333984375 × 2 - 1) × π
    0.696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18822359385632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79038360} λ = 0.79038360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18822359385632))-π/2
    2×atan(8.91935463694567)-π/2
    2×1.45914684307286-π/2
    2.91829368614571-1.57079632675     		φ = 1.34749736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79038360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.285644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34749736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.205912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10253 KachelY 2486 0.79038360 1.34749736 45.285644 77.205912
    Oben rechts KachelX + 1 10254 KachelY 2486 0.79076710 1.34749736 45.307617 77.205912
    Unten links KachelX 10253 KachelY + 1 2487 0.79038360 1.34741242 45.285644 77.201045
    Unten rechts KachelX + 1 10254 KachelY + 1 2487 0.79076710 1.34741242 45.307617 77.201045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34749736-1.34741242) × R
    8.49400000000333e-05 × 6371000     		dl = 541.152740000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34749736-1.34741242) × R
    8.49400000000333e-05 × 6371000     		dr = 541.152740000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79038360-0.79076710) × cos(1.34749736) × R
    0.000383499999999981 × 0.221447883006523 × 6371000     		do = 541.058851420326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79038360-0.79076710) × cos(1.34741242) × R
    0.000383499999999981 × 0.221530713334913 × 6371000     		du = 541.261228980829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34749736)-sin(1.34741242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221447883006523-0.221530713334913)×R²
    abs(0.79076710-0.79038360)×8.28303283902099e-05×R²
    0.000383499999999981×8.28303283902099e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.28303283902099e-05×40589641000000     		ar = 292850.238709486m²