Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102529 / 99457
↖ ↑ ↗
← S 67.743800°
E101.604309°		 ← 115.66 m → S 67.743800°
E101.607055°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.744839°
E101.604309°		 ← 115.65 m →
13 373 m²		 S 67.744839°
E101.607055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782238006591797 y=0.758800506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782238006591797 × 217)
    floor (0.782238006591797 × 131072)
    floor (102529.5)     		tx = 102529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758800506591797 × 217)
    floor (0.758800506591797 × 131072)
    floor (99457.5)     		ty = 99457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102529 / 99457 ti = "17/102529/99457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102529/99457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102529 ÷ 217
    102529 ÷ 131072     		x = 0.782234191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99457 ÷ 217
    99457 ÷ 131072     		y = 0.758796691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782234191894531 × 2 - 1) × π
    0.564468383789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.77332973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758796691894531 × 2 - 1) × π
    -0.517593383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.62606757201192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77332973} λ = 1.77332973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62606757201192))-π/2
    2×atan(0.196701569982107)-π/2
    2×0.194221990134516-π/2
    0.388443980269031-1.57079632675     		φ = -1.18235235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77332973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.604309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18235235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.743800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102529 KachelY 99457 1.77332973 -1.18235235 101.604309 -67.743800
    Oben rechts KachelX + 1 102530 KachelY 99457 1.77337766 -1.18235235 101.607055 -67.743800
    Unten links KachelX 102529 KachelY + 1 99458 1.77332973 -1.18237050 101.604309 -67.744839
    Unten rechts KachelX + 1 102530 KachelY + 1 99458 1.77337766 -1.18237050 101.607055 -67.744839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18235235--1.18237050) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18235235--1.18237050) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77332973-1.77337766) × cos(-1.18235235) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378748775486608 × 6371000     		do = 115.655494942676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77332973-1.77337766) × cos(-1.18237050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378731977607902 × 6371000     		du = 115.650365508334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18235235)-sin(-1.18237050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378748775486608-0.378731977607902)×R²
    abs(1.77337766-1.77332973)×1.67978787061207e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67978787061207e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67978787061207e-05×40589641000000     		ar = 13373.3704557346m²