Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102523 / 99702
↖ ↑ ↗
← S 67.997283°
E101.587830°		 ← 114.40 m → S 67.997283°
E101.590576°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 67.998312°
E101.587830°		 ← 114.40 m →
13 090 m²		 S 67.998312°
E101.590576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782192230224609 y=0.760669708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782192230224609 × 217)
    floor (0.782192230224609 × 131072)
    floor (102523.5)     		tx = 102523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760669708251953 × 217)
    floor (0.760669708251953 × 131072)
    floor (99702.5)     		ty = 99702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102523 / 99702 ti = "17/102523/99702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102523/99702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102523 ÷ 217
    102523 ÷ 131072     		x = 0.782188415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99702 ÷ 217
    99702 ÷ 131072     		y = 0.760665893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782188415527344 × 2 - 1) × π
    0.564376831054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.77304211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760665893554688 × 2 - 1) × π
    -0.521331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63781211241884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77304211} λ = 1.77304211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63781211241884))-π/2
    2×atan(0.194404913432077)-π/2
    2×0.192009926109533-π/2
    0.384019852219066-1.57079632675     		φ = -1.18677647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77304211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.587830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18677647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.997283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102523 KachelY 99702 1.77304211 -1.18677647 101.587830 -67.997283
    Oben rechts KachelX + 1 102524 KachelY 99702 1.77309004 -1.18677647 101.590576 -67.997283
    Unten links KachelX 102523 KachelY + 1 99703 1.77304211 -1.18679443 101.587830 -67.998312
    Unten rechts KachelX + 1 102524 KachelY + 1 99703 1.77309004 -1.18679443 101.590576 -67.998312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18677647--1.18679443) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dl = 114.423159999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18677647--1.18679443) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dr = 114.423159999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77304211-1.77309004) × cos(-1.18677647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374650561310469 × 6371000     		do = 114.404055942474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77304211-1.77309004) × cos(-1.18679443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374633909347085 × 6371000     		du = 114.398971065132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18677647)-sin(-1.18679443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374650561310469-0.374633909347085)×R²
    abs(1.77309004-1.77304211)×1.66519633844064e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66519633844064e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66519633844064e-05×40589641000000     		ar = 13090.1826841583m²