Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102521 / 99699
↖ ↑ ↗
← S 67.994196°
E101.582336°		 ← 114.44 m → S 67.994196°
E101.585083°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 67.995225°
E101.582336°		 ← 114.44 m →
13 095 m²		 S 67.995225°
E101.585083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782176971435547 y=0.760646820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782176971435547 × 217)
    floor (0.782176971435547 × 131072)
    floor (102521.5)     		tx = 102521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760646820068359 × 217)
    floor (0.760646820068359 × 131072)
    floor (99699.5)     		ty = 99699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102521 / 99699 ti = "17/102521/99699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102521/99699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102521 ÷ 217
    102521 ÷ 131072     		x = 0.782173156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99699 ÷ 217
    99699 ÷ 131072     		y = 0.760643005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782173156738281 × 2 - 1) × π
    0.564346313476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.77294623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760643005371094 × 2 - 1) × π
    -0.521286010742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.63766830171998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77294623} λ = 1.77294623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63766830171998))-π/2
    2×atan(0.19443287294893)-π/2
    2×0.19203686728482-π/2
    0.38407373456964-1.57079632675     		φ = -1.18672259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77294623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.582336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18672259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.994196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102521 KachelY 99699 1.77294623 -1.18672259 101.582336 -67.994196
    Oben rechts KachelX + 1 102522 KachelY 99699 1.77299417 -1.18672259 101.585083 -67.994196
    Unten links KachelX 102521 KachelY + 1 99700 1.77294623 -1.18674055 101.582336 -67.995225
    Unten rechts KachelX + 1 102522 KachelY + 1 99700 1.77299417 -1.18674055 101.585083 -67.995225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18672259--1.18674055) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dl = 114.423159999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18672259--1.18674055) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dr = 114.423159999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77294623-1.77299417) × cos(-1.18672259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374700516475514 × 6371000     		do = 114.443182522841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77294623-1.77299417) × cos(-1.18674055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374683864874689 × 6371000     		du = 114.438096695337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18672259)-sin(-1.18674055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374700516475514-0.374683864874689)×R²
    abs(1.77299417-1.77294623)×1.6651600824702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6651600824702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6651600824702e-05×40589641000000     		ar = 13094.6596169069m²