Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102512 / 96506
↖ ↑ ↗
← S 64.465691°
E101.557617°		 ← 131.65 m → S 64.465691°
E101.560364°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
S 64.466875°
E101.557617°		 ← 131.65 m →
17 329 m²		 S 64.466875°
E101.560364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782108306884766 y=0.736286163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782108306884766 × 217)
    floor (0.782108306884766 × 131072)
    floor (102512.5)     		tx = 102512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736286163330078 × 217)
    floor (0.736286163330078 × 131072)
    floor (96506.5)     		ty = 96506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102512 / 96506 ti = "17/102512/96506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102512/96506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102512 ÷ 217
    102512 ÷ 131072     		x = 0.7821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96506 ÷ 217
    96506 ÷ 131072     		y = 0.736282348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7821044921875 × 2 - 1) × π
    0.564208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77251480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736282348632812 × 2 - 1) × π
    -0.472564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48460578123314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77251480} λ = 1.77251480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48460578123314))-π/2
    2×atan(0.226591649752402)-π/2
    2×0.222828880118937-π/2
    0.445657760237875-1.57079632675     		φ = -1.12513857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77251480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12513857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.465691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102512 KachelY 96506 1.77251480 -1.12513857 101.557617 -64.465691
    Oben rechts KachelX + 1 102513 KachelY 96506 1.77256274 -1.12513857 101.560364 -64.465691
    Unten links KachelX 102512 KachelY + 1 96507 1.77251480 -1.12515923 101.557617 -64.466875
    Unten rechts KachelX + 1 102513 KachelY + 1 96507 1.77256274 -1.12515923 101.560364 -64.466875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12513857--1.12515923) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dl = 131.624859999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12513857--1.12515923) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dr = 131.624859999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77251480-1.77256274) × cos(-1.12513857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431051485438903 × 6371000     		do = 131.65421891819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77251480-1.77256274) × cos(-1.12515923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431032843264199 × 6371000     		du = 131.648525118186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12513857)-sin(-1.12515923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431051485438903-0.431032843264199)×R²
    abs(1.77256274-1.77251480)×1.86421747040977e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86421747040977e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86421747040977e-05×40589641000000     		ar = 17328.5934113973m²