Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102511 / 96507
↖ ↑ ↗
← S 64.466875°
E101.554870°		 ← 131.65 m → S 64.466875°
E101.557617°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
S 64.468059°
E101.554870°		 ← 131.64 m →
17 328 m²		 S 64.468059°
E101.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782100677490234 y=0.736293792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782100677490234 × 217)
    floor (0.782100677490234 × 131072)
    floor (102511.5)     		tx = 102511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736293792724609 × 217)
    floor (0.736293792724609 × 131072)
    floor (96507.5)     		ty = 96507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102511 / 96507 ti = "17/102511/96507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102511/96507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102511 ÷ 217
    102511 ÷ 131072     		x = 0.782096862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96507 ÷ 217
    96507 ÷ 131072     		y = 0.736289978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782096862792969 × 2 - 1) × π
    0.564193725585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.77246686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736289978027344 × 2 - 1) × π
    -0.472579956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.48465371813276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77246686} λ = 1.77246686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48465371813276))-π/2
    2×atan(0.226580787911576)-π/2
    2×0.222818548706412-π/2
    0.445637097412825-1.57079632675     		φ = -1.12515923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77246686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.554870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12515923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.466875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102511 KachelY 96507 1.77246686 -1.12515923 101.554870 -64.466875
    Oben rechts KachelX + 1 102512 KachelY 96507 1.77251480 -1.12515923 101.557617 -64.466875
    Unten links KachelX 102511 KachelY + 1 96508 1.77246686 -1.12517989 101.554870 -64.468059
    Unten rechts KachelX + 1 102512 KachelY + 1 96508 1.77251480 -1.12517989 101.557617 -64.468059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12515923--1.12517989) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dl = 131.624860000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12515923--1.12517989) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dr = 131.624860000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77246686-1.77251480) × cos(-1.12515923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431032843264199 × 6371000     		do = 131.648525118186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77246686-1.77251480) × cos(-1.12517989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431014200905514 × 6371000     		du = 131.642831261989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12515923)-sin(-1.12517989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431032843264199-0.431014200905514)×R²
    abs(1.77251480-1.77246686)×1.86423586844842e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86423586844842e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86423586844842e-05×40589641000000     		ar = 17327.8439620398m²