Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102507 / 99394
↖ ↑ ↗
← S 67.678171°
E101.543885°		 ← 115.98 m → S 67.678171°
E101.546631°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.679214°
E101.543885°		 ← 115.97 m →
13 448 m²		 S 67.679214°
E101.546631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782070159912109 y=0.758319854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782070159912109 × 217)
    floor (0.782070159912109 × 131072)
    floor (102507.5)     		tx = 102507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758319854736328 × 217)
    floor (0.758319854736328 × 131072)
    floor (99394.5)     		ty = 99394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102507 / 99394 ti = "17/102507/99394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102507/99394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102507 ÷ 217
    102507 ÷ 131072     		x = 0.782066345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99394 ÷ 217
    99394 ÷ 131072     		y = 0.758316040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782066345214844 × 2 - 1) × π
    0.564132690429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.77227512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758316040039062 × 2 - 1) × π
    -0.516632080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62304754733586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77227512} λ = 1.77227512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62304754733586))-π/2
    2×atan(0.197296511494114)-π/2
    2×0.194794705344045-π/2
    0.389589410688089-1.57079632675     		φ = -1.18120692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77227512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.543885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18120692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.678171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102507 KachelY 99394 1.77227512 -1.18120692 101.543885 -67.678171
    Oben rechts KachelX + 1 102508 KachelY 99394 1.77232305 -1.18120692 101.546631 -67.678171
    Unten links KachelX 102507 KachelY + 1 99395 1.77227512 -1.18122512 101.543885 -67.679214
    Unten rechts KachelX + 1 102508 KachelY + 1 99395 1.77232305 -1.18122512 101.546631 -67.679214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18120692--1.18122512) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18120692--1.18122512) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77227512-1.77232305) × cos(-1.18120692) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379808621711146 × 6371000     		do = 115.979131737289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77227512-1.77232305) × cos(-1.18122512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379791785463702 × 6371000     		du = 115.973990586592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18120692)-sin(-1.18122512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379808621711146-0.379791785463702)×R²
    abs(1.77232305-1.77227512)×1.68362474439188e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68362474439188e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68362474439188e-05×40589641000000     		ar = 13447.7374156374m²