Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102505 / 99286
↖ ↑ ↗
← S 67.565238°
E101.538391°		 ← 116.56 m → S 67.565238°
E101.541138°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
S 67.566286°
E101.538391°		 ← 116.55 m →
13 589 m²		 S 67.566286°
E101.541138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782054901123047 y=0.757495880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782054901123047 × 217)
    floor (0.782054901123047 × 131072)
    floor (102505.5)     		tx = 102505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757495880126953 × 217)
    floor (0.757495880126953 × 131072)
    floor (99286.5)     		ty = 99286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102505 / 99286 ti = "17/102505/99286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102505/99286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102505 ÷ 217
    102505 ÷ 131072     		x = 0.782051086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99286 ÷ 217
    99286 ÷ 131072     		y = 0.757492065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782051086425781 × 2 - 1) × π
    0.564102172851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.77217924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757492065429688 × 2 - 1) × π
    -0.514984130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6178703621769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77217924} λ = 1.77217924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6178703621769))-π/2
    2×atan(0.19832060072772)-π/2
    2×0.195780232573443-π/2
    0.391560465146886-1.57079632675     		φ = -1.17923586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77217924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.538391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17923586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.565238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102505 KachelY 99286 1.77217924 -1.17923586 101.538391 -67.565238
    Oben rechts KachelX + 1 102506 KachelY 99286 1.77222718 -1.17923586 101.541138 -67.565238
    Unten links KachelX 102505 KachelY + 1 99287 1.77217924 -1.17925416 101.538391 -67.566286
    Unten rechts KachelX + 1 102506 KachelY + 1 99287 1.77222718 -1.17925416 101.541138 -67.566286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17923586--1.17925416) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17923586--1.17925416) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77217924-1.77222718) × cos(-1.17923586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381631241523555 × 6371000     		do = 116.560004349374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77217924-1.77222718) × cos(-1.17925416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381614326501328 × 6371000     		du = 116.554838066193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17923586)-sin(-1.17925416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381631241523555-0.381614326501328)×R²
    abs(1.77222718-1.77217924)×1.69150222268932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69150222268932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69150222268932e-05×40589641000000     		ar = 13589.3481488079m²