Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102502 / 99702
↖ ↑ ↗
← S 67.997283°
E101.530151°		 ← 114.43 m → S 67.997283°
E101.532898°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 67.998312°
E101.530151°		 ← 114.42 m →
13 093 m²		 S 67.998312°
E101.532898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782032012939453 y=0.760669708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782032012939453 × 217)
    floor (0.782032012939453 × 131072)
    floor (102502.5)     		tx = 102502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760669708251953 × 217)
    floor (0.760669708251953 × 131072)
    floor (99702.5)     		ty = 99702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102502 / 99702 ti = "17/102502/99702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102502/99702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102502 ÷ 217
    102502 ÷ 131072     		x = 0.782028198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99702 ÷ 217
    99702 ÷ 131072     		y = 0.760665893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782028198242188 × 2 - 1) × π
    0.564056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77203543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760665893554688 × 2 - 1) × π
    -0.521331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63781211241884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77203543} λ = 1.77203543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63781211241884))-π/2
    2×atan(0.194404913432077)-π/2
    2×0.192009926109533-π/2
    0.384019852219066-1.57079632675     		φ = -1.18677647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77203543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.530151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18677647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.997283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102502 KachelY 99702 1.77203543 -1.18677647 101.530151 -67.997283
    Oben rechts KachelX + 1 102503 KachelY 99702 1.77208337 -1.18677647 101.532898 -67.997283
    Unten links KachelX 102502 KachelY + 1 99703 1.77203543 -1.18679443 101.530151 -67.998312
    Unten rechts KachelX + 1 102503 KachelY + 1 99703 1.77208337 -1.18679443 101.532898 -67.998312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18677647--1.18679443) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dl = 114.423159999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18677647--1.18679443) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dr = 114.423159999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77203543-1.77208337) × cos(-1.18677647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374650561310469 × 6371000     		do = 114.42792492959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77203543-1.77208337) × cos(-1.18679443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374633909347085 × 6371000     		du = 114.422838991351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18677647)-sin(-1.18679443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374650561310469-0.374633909347085)×R²
    abs(1.77208337-1.77203543)×1.66519633844064e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66519633844064e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66519633844064e-05×40589641000000     		ar = 13092.9137883946m²