Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102502 / 96503
↖ ↑ ↗
← S 64.462139°
E101.530151°		 ← 131.67 m → S 64.462139°
E101.532898°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
S 64.463323°
E101.530151°		 ← 131.67 m →
17 339 m²		 S 64.463323°
E101.532898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782032012939453 y=0.736263275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782032012939453 × 217)
    floor (0.782032012939453 × 131072)
    floor (102502.5)     		tx = 102502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736263275146484 × 217)
    floor (0.736263275146484 × 131072)
    floor (96503.5)     		ty = 96503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102502 / 96503 ti = "17/102502/96503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102502/96503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102502 ÷ 217
    102502 ÷ 131072     		x = 0.782028198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96503 ÷ 217
    96503 ÷ 131072     		y = 0.736259460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782028198242188 × 2 - 1) × π
    0.564056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77203543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736259460449219 × 2 - 1) × π
    -0.472518920898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.48446197053428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77203543} λ = 1.77203543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48446197053428))-π/2
    2×atan(0.22662423839915)-π/2
    2×0.222859877037927-π/2
    0.445719754075855-1.57079632675     		φ = -1.12507657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77203543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.530151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12507657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.462139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102502 KachelY 96503 1.77203543 -1.12507657 101.530151 -64.462139
    Oben rechts KachelX + 1 102503 KachelY 96503 1.77208337 -1.12507657 101.532898 -64.462139
    Unten links KachelX 102502 KachelY + 1 96504 1.77203543 -1.12509724 101.530151 -64.463323
    Unten rechts KachelX + 1 102503 KachelY + 1 96504 1.77208337 -1.12509724 101.532898 -64.463323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12507657--1.12509724) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dl = 131.688570000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12507657--1.12509724) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dr = 131.688570000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77203543-1.77208337) × cos(-1.12507657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431107428905067 × 6371000     		do = 131.671305492741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77203543-1.77208337) × cos(-1.12509724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431088778259434 × 6371000     		du = 131.665609105497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12507657)-sin(-1.12509724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431107428905067-0.431088778259434)×R²
    abs(1.77208337-1.77203543)×1.8650645633056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8650645633056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8650645633056e-05×40589641000000     		ar = 17339.2308565354m²