Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102502 / 96494
↖ ↑ ↗
← S 64.451480°
E101.530151°		 ← 131.72 m → S 64.451480°
E101.532898°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
S 64.452665°
E101.530151°		 ← 131.72 m →
17 354 m²		 S 64.452665°
E101.532898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782032012939453 y=0.736194610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782032012939453 × 217)
    floor (0.782032012939453 × 131072)
    floor (102502.5)     		tx = 102502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736194610595703 × 217)
    floor (0.736194610595703 × 131072)
    floor (96494.5)     		ty = 96494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102502 / 96494 ti = "17/102502/96494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102502/96494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102502 ÷ 217
    102502 ÷ 131072     		x = 0.782028198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96494 ÷ 217
    96494 ÷ 131072     		y = 0.736190795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782028198242188 × 2 - 1) × π
    0.564056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77203543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736190795898438 × 2 - 1) × π
    -0.472381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4840305384377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77203543} λ = 1.77203543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4840305384377))-π/2
    2×atan(0.226722032463691)-π/2
    2×0.222952891931125-π/2
    0.44590578386225-1.57079632675     		φ = -1.12489054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77203543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.530151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12489054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.451480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102502 KachelY 96494 1.77203543 -1.12489054 101.530151 -64.451480
    Oben rechts KachelX + 1 102503 KachelY 96494 1.77208337 -1.12489054 101.532898 -64.451480
    Unten links KachelX 102502 KachelY + 1 96495 1.77203543 -1.12491122 101.530151 -64.452665
    Unten rechts KachelX + 1 102503 KachelY + 1 96495 1.77208337 -1.12491122 101.532898 -64.452665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12489054--1.12491122) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12489054--1.12491122) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77203543-1.77208337) × cos(-1.12489054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43127527642625 × 6371000     		do = 131.722570446106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77203543-1.77208337) × cos(-1.12491122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431256618416322 × 6371000     		du = 131.716871809617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12489054)-sin(-1.12491122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43127527642625-0.431256618416322)×R²
    abs(1.77208337-1.77203543)×1.86580099276745e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86580099276745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86580099276745e-05×40589641000000     		ar = 17354.3735802285m²