Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102501 / 96492
↖ ↑ ↗
← S 64.449111°
E101.527405°		 ← 131.73 m → S 64.449111°
E101.530151°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
S 64.450296°
E101.527405°		 ← 131.73 m →
17 356 m²		 S 64.450296°
E101.530151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782024383544922 y=0.736179351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782024383544922 × 217)
    floor (0.782024383544922 × 131072)
    floor (102501.5)     		tx = 102501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736179351806641 × 217)
    floor (0.736179351806641 × 131072)
    floor (96492.5)     		ty = 96492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102501 / 96492 ti = "17/102501/96492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102501/96492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102501 ÷ 217
    102501 ÷ 131072     		x = 0.782020568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96492 ÷ 217
    96492 ÷ 131072     		y = 0.736175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782020568847656 × 2 - 1) × π
    0.564041137695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.77198749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.47235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48393466463846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77198749} λ = 1.77198749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48393466463846))-π/2
    2×atan(0.226743770208338)-π/2
    2×0.222973566824796-π/2
    0.445947133649592-1.57079632675     		φ = -1.12484919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77198749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.527405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12484919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.449111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102501 KachelY 96492 1.77198749 -1.12484919 101.527405 -64.449111
    Oben rechts KachelX + 1 102502 KachelY 96492 1.77203543 -1.12484919 101.530151 -64.449111
    Unten links KachelX 102501 KachelY + 1 96493 1.77198749 -1.12486987 101.527405 -64.450296
    Unten rechts KachelX + 1 102502 KachelY + 1 96493 1.77203543 -1.12486987 101.530151 -64.450296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12484919--1.12486987) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12484919--1.12486987) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77198749-1.77203543) × cos(-1.12484919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431312582870751 × 6371000     		do = 131.733964794524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77198749-1.77203543) × cos(-1.12486987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431293925229623 × 6371000     		du = 131.728266270676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12484919)-sin(-1.12486987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431312582870751-0.431293925229623)×R²
    abs(1.77203543-1.77198749)×1.86576411284056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86576411284056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86576411284056e-05×40589641000000     		ar = 17355.8748190312m²