Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10250 / 6150
↖ ↑ ↗
← N 81.088109°
W123.695068°		 ← 94.62 m → N 81.088109°
W123.689575°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 81.087258°
W123.695068°		 ← 94.63 m →
8 952 m²		 N 81.087258°
W123.689575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156410217285156 y=0.0938491821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156410217285156 × 216)
    floor (0.156410217285156 × 65536)
    floor (10250.5)     		tx = 10250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0938491821289062 × 216)
    floor (0.0938491821289062 × 65536)
    floor (6150.5)     		ty = 6150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10250 / 6150 ti = "16/10250/6150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10250/6150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10250 ÷ 216
    10250 ÷ 65536     		x = 0.156402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6150 ÷ 216
    6150 ÷ 65536     		y = 0.093841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.68719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15888621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093841552734375 × 2 - 1) × π
    0.81231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55196878817331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15888621} λ = -2.15888621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55196878817331))-π/2
    2×atan(12.8323430944013)-π/2
    2×1.49302541043846-π/2
    2.98605082087692-1.57079632675     		φ = 1.41525449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15888621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.695068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41525449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.088109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10250 KachelY 6150 -2.15888621 1.41525449 -123.695068 81.088109
    Oben rechts KachelX + 1 10251 KachelY 6150 -2.15879034 1.41525449 -123.689575 81.088109
    Unten links KachelX 10250 KachelY + 1 6151 -2.15888621 1.41523964 -123.695068 81.087258
    Unten rechts KachelX + 1 10251 KachelY + 1 6151 -2.15879034 1.41523964 -123.689575 81.087258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41525449-1.41523964) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dl = 94.6093499993608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41525449-1.41523964) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dr = 94.6093499993608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15888621--2.15879034) × cos(1.41525449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154915417604101 × 6371000     		do = 94.6204424570255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15888621--2.15879034) × cos(1.41523964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154930088313913 × 6371000     		du = 94.6294031471557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41525449)-sin(1.41523964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154915417604101-0.154930088313913)×R²
    abs(-2.15879034--2.15888621)×1.4670709811565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4670709811565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4670709811565e-05×40589641000000     		ar = 8952.4024400314m²