Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102499 / 96493
↖ ↑ ↗
← S 64.450296°
E101.521912°		 ← 131.73 m → S 64.450296°
E101.524658°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
S 64.451480°
E101.521912°		 ← 131.72 m →
17 347 m²		 S 64.451480°
E101.524658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782009124755859 y=0.736186981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782009124755859 × 217)
    floor (0.782009124755859 × 131072)
    floor (102499.5)     		tx = 102499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736186981201172 × 217)
    floor (0.736186981201172 × 131072)
    floor (96493.5)     		ty = 96493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102499 / 96493 ti = "17/102499/96493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102499/96493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102499 ÷ 217
    102499 ÷ 131072     		x = 0.782005310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96493 ÷ 217
    96493 ÷ 131072     		y = 0.736183166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782005310058594 × 2 - 1) × π
    0.564010620117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.77189162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736183166503906 × 2 - 1) × π
    -0.472366333007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.48398260153808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77189162} λ = 1.77189162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48398260153808))-π/2
    2×atan(0.226732901075505)-π/2
    2×0.222963229154417-π/2
    0.445926458308835-1.57079632675     		φ = -1.12486987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77189162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.521912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12486987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.450296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102499 KachelY 96493 1.77189162 -1.12486987 101.521912 -64.450296
    Oben rechts KachelX + 1 102500 KachelY 96493 1.77193956 -1.12486987 101.524658 -64.450296
    Unten links KachelX 102499 KachelY + 1 96494 1.77189162 -1.12489054 101.521912 -64.451480
    Unten rechts KachelX + 1 102500 KachelY + 1 96494 1.77193956 -1.12489054 101.524658 -64.451480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12486987--1.12489054) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dl = 131.688570000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12486987--1.12489054) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dr = 131.688570000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77189162-1.77193956) × cos(-1.12486987) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.431293925229623 × 6371000     		do = 131.728266271286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77189162-1.77193956) × cos(-1.12489054) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.43127527642625 × 6371000     		du = 131.722570446716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12486987)-sin(-1.12489054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431293925229623-0.43127527642625)×R²
    abs(1.77193956-1.77189162)×1.86488033727672e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.86488033727672e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.86488033727672e-05×40589641000000     		ar = 17346.7319768391m²