Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10249 / 6129
↖ ↑ ↗
← N 81.105962°
W123.700562°		 ← 94.44 m → N 81.105962°
W123.695068°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 81.105113°
W123.700562°		 ← 94.45 m →
8 917 m²		 N 81.105113°
W123.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156394958496094 y=0.0935287475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156394958496094 × 216)
    floor (0.156394958496094 × 65536)
    floor (10249.5)     		tx = 10249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935287475585938 × 216)
    floor (0.0935287475585938 × 65536)
    floor (6129.5)     		ty = 6129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10249 / 6129 ti = "16/10249/6129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10249/6129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10249 ÷ 216
    10249 ÷ 65536     		x = 0.156387329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6129 ÷ 216
    6129 ÷ 65536     		y = 0.0935211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156387329101562 × 2 - 1) × π
    -0.687225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15898209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0935211181640625 × 2 - 1) × π
    0.812957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55398213795735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15898209} λ = -2.15898209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55398213795735))-π/2
    2×atan(12.8582051155104)-π/2
    2×1.49318120490077-π/2
    2.98636240980154-1.57079632675     		φ = 1.41556608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15898209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.700562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41556608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.105962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10249 KachelY 6129 -2.15898209 1.41556608 -123.700562 81.105962
    Oben rechts KachelX + 1 10250 KachelY 6129 -2.15888621 1.41556608 -123.695068 81.105962
    Unten links KachelX 10249 KachelY + 1 6130 -2.15898209 1.41555126 -123.700562 81.105113
    Unten rechts KachelX + 1 10250 KachelY + 1 6130 -2.15888621 1.41555126 -123.695068 81.105113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41556608-1.41555126) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41556608-1.41555126) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15898209--2.15888621) × cos(1.41556608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154607581685294 × 6371000     		do = 94.4422700916206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15898209--2.15888621) × cos(1.41555126) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154622223472028 × 6371000     		du = 94.4512140487172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41556608)-sin(1.41555126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154607581685294-0.154622223472028)×R²
    abs(-2.15888621--2.15898209)×1.46417867344095e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46417867344095e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46417867344095e-05×40589641000000     		ar = 8917.49327113991m²