Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10248 / 14343
↖ ↑ ↗
← N 70.599846°
W123.706055°		 ← 202.88 m → N 70.599846°
W123.700562°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 70.598021°
W123.706055°		 ← 202.90 m →
41 170 m²		 N 70.598021°
W123.700562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156379699707031 y=0.218864440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156379699707031 × 216)
    floor (0.156379699707031 × 65536)
    floor (10248.5)     		tx = 10248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218864440917969 × 216)
    floor (0.218864440917969 × 65536)
    floor (14343.5)     		ty = 14343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10248 / 14343 ti = "16/10248/14343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10248/14343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10248 ÷ 216
    10248 ÷ 65536     		x = 0.1563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14343 ÷ 216
    14343 ÷ 65536     		y = 0.218856811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15907796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218856811523438 × 2 - 1) × π
    0.562286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76647475099907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15907796} λ = -2.15907796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76647475099907))-π/2
    2×atan(5.85019357827124)-π/2
    2×1.40149804433214-π/2
    2.80299608866428-1.57079632675     		φ = 1.23219976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15907796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23219976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.599846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10248 KachelY 14343 -2.15907796 1.23219976 -123.706055 70.599846
    Oben rechts KachelX + 1 10249 KachelY 14343 -2.15898209 1.23219976 -123.700562 70.599846
    Unten links KachelX 10248 KachelY + 1 14344 -2.15907796 1.23216791 -123.706055 70.598021
    Unten rechts KachelX + 1 10249 KachelY + 1 14344 -2.15898209 1.23216791 -123.700562 70.598021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23219976-1.23216791) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23219976-1.23216791) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15907796--2.15898209) × cos(1.23219976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332163670951115 × 6371000     		do = 202.881507855241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15907796--2.15898209) × cos(1.23216791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33219371239581 × 6371000     		du = 202.899856802254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23219976)-sin(1.23216791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332163670951115-0.33219371239581)×R²
    abs(-2.15898209--2.15907796)×3.00414446947617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00414446947617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00414446947617e-05×40589641000000     		ar = 41169.8367106094m²